四川省宜宾市叙州区第二中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

叙州区二中2023年秋期高一第一学月考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，则集合 （     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由并集运算的定义可得.

【详解】，，

根据并集运算的定义可得，

.

故选：A.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

由命题的否定的定义判断．

【详解】命题“，”否定是“，”．

故选：C．

【点睛】本题考查命题的否定，掌握命题的否定的定义是解题关键，命题的否定除否定结论外，存在量词与全称量词必须互换．

3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用不等式的性质和作差法比较大小即可.

【详解】A选项：当时，，故A错；

B选项：，因为的符号不确定，所以的符号也不能确定，故B错；

C选项：，因为，所以，，，即，则，故C正确；

D选项：，因为，所以，，即，，故D错.

故选：C.

4. “”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可.

【详解】由特称命题的否定形式及真假可知：

“”为假则其否定形式“”为真命题，

显然当时符合题意，

当时，由一元二次不等式的恒成立问题得，解之得，

综上可得.

故选：B

5. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为

A. 12元 B. 16元 C. 12元到16元之间 D. 10元到14元之间

【答案】C

【解析】

【分析】

设销售价定为每件元,利润为,根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得每件销售价的范围.

【详解】设销售价定为每件元,利润为

则

依题意,得

即,解得

所以每件销售价应定为12元到16元之间

故选:C

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题.

6. 已知，，且，则的最小值是（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式“1的代换”即可求出最小值.

【详解】因为，，且，所以，

所以，

当且仅当，时，等号成立．

故选：C

7. 对于集合，定义，，设，，则（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.

【详解】集合，，

则，，

由定义可得：且，

且，

所以，选项 ABD错误，选项C正确.

故选：C．

8. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合，讨论二次函数的零点位置结合集合交集的定义求解即可.

【详解】由解得集合或，

令，因为是开口向上的抛物线，对称轴为且，根据对称性可得中恰有一个整数则，

所以，解得，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知全集，集合，，则（    ）

A. 的子集有个 B.  C.  D. 中的元素个数为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.

【详解】因为，所以，

因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；

由，，得，所以，故B不正确；

由，，所以，所以， 故C正确；

由，得中的元素个数为，故D正确.

故选：ACD.

10. 下列命题为真命题的是（    ）.

A. 若，则 B. 若，则

C. 如果，那么 D. ，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.

【详解】对于A，令，，则，故A错误.

对于B，因为，所以，故B正确.

对于C，由于 ，同乘以，

得，又，所以，故C正确.

对于D，若，则，所以，所以，故D正确.

故选：BCD.

11. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由题意可得集合中的元素均为负数，结合选项得答案.

【详解】“”为真命题，则，

“”为假命题，则“，”为真命题.

由上可知，集合的元素均为负数，

集合可以是A、B.

故选：AB

12. 下列命题中真命题有（    ）

A. 若，则的最大值为2 B. 当，时，

C. 的最小值5 D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立

【答案】AB

【解析】

【分析】选项A,B利用基本不等式可判断；选项C取可判断；选项D中取可判断.

【详解】对于A，因为，故，当且仅当时等号成立，

又，

所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为2，故A正确.

对于B，，

当且仅当时第一个等号成立，当且仅当时第二个等号成立，

即当且仅当时等号成立，故B正确.

对于C，当时，，故C错误.

对于D，取，此时，故D错误.

故选：AB．

第II卷 非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 满足的集合M共有______个．

【答案】4

【解析】

【分析】根据子集的定义，列举所有符合条件的集合即可求解.

【详解】根据可得可以为，故共有4个符合条件的集合，

故答案为：4

14. 不等式的解集为，则a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解集，结合对应函数性质有，即可求参数范围.

【详解】由题意.

故答案为：

15. 已知非负实数，满足，则的最小值为___________.

【答案】8

【解析】

【分析】令，解得，再结合乘“1”法和基本不等式即可求解结论.

【详解】解：令，则，得，

解得，

则，当且仅当，且，为非负实数，即，时，等号成立，

此时的最小值为8，

故答案为：8.

16. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，

所以

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 若集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，应用集合交并运算求集合；

（2）由题设有，再列不等式组求参数范围，注意说明.

【小问1详解】

由，则，而，

所以，.

【小问2详解】

由，而，

若，显然不成立，即，

所以，m的取值范围为.

18. 已知，是关于x的方程的两个实数根．

（1）若，求m的值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据求m的范围，再利用韦达定理代入求解可得；

（2）先配方，利用韦达定理，结合二次函数性质可得.

【小问1详解】

因为，是关于x的方程的两个实数根，

所以，即

所以，

所以，

整理得，解得（舍去）或，

所以.

【小问2详解】

由（1）可得，

令，

因为在区间上单调递减，

所以，当时，取得最小值.

19. 设实数，满足．

（1）求的最小值；

（2）若，，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用代入法和二次函数运算即可得解.

（2）利用基本不等式运算即可得解.

【小问1详解】

解：由得，

所以

当时取得最小值，

所以，当，时取得最小值.

【小问2详解】

解：因为，，，

所以

，

当且仅当，即时等号成立；

又因为，

所以，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为.

20. 已知集合，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】分别化简集合，

（1）根据两集合交集为空集得出的不等关系，解之即可；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的子集，由子集的概念可得．

【详解】

（1）因为，所以或，即或．

所以的取值范围是；

（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则，解得．

所以的取值范围是．

【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系，属于基础题型．

21. 用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数.

（1）（ⅰ）试解释与的实际意义；

（ⅱ）写出函数应该满足的条件和具有的性质；

（2）现有单位量水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由.

【答案】（1）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

（1）（ⅰ）结合题意理解即可说出具体意义；

（ⅱ）可结合生活实际和函数表达式特征加以理解农药残留肯定越来越少，第二个特点是农药始终会有残留；

（2）需根据题意表示出一次清洗的农药残留量，和分两次清洗的农药残留量，通过作差法，再结合分类讨论思想，可进一步确定农药残留的多少

【详解】解：（1）（ⅰ），表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1.

，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的.

（ⅱ）函数在上单调递减，并且有.

（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为，则.

如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，

然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为.

由于，所以，的符号由决定.

当时，.此时，把单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；

当时，.此时，两种清洗方法效果相同；

当时，.此时，用单位的水清洗一次，残留的农药量较少.

【点睛】本题考查函数模型在生活中的实际应用，作差法在比大小中的应用，分类讨论思想的具体应用，属于中档题

22. 若实数满足，则称比远离.

（1）若比远离1，且，求实数的取值范围；

（2）对任意两个不相等的实数，证明比远离；

（3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）比更远离，理由见解析

【解析】

【分析】（1）首先由题意可知，，再根据，求解不等式；

（2）由条件证明，首先去绝对值，再比较大小；

（3）分和两种情况证明不等式.

【小问1详解】

由题意，，

因为，所以，即，

两边平方，得，解得：

【小问2详解】

证明：，

,

因为，所以，

所以，

所以比远离；

【小问3详解】

因为，当且仅当时等号成立，

所以，

从而，

①时，，

，

即；

②时，，

，

即，

综上：，即比更远离.