山西省阳泉市高新区2022—2023学年上学期九年级期末数学试卷

2022-2023学年山西省阳泉市高新区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，内接于，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值，则表中“”处的数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.图是老师画出的，已标出三边的长度下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡后来人们把它归纳为“杠杆原理”通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，动力臂为，则撬动这块大石头至少需要的动力是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面她沿着连接这两棵树的一条水平直路从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端，此时，她与左边较低的树的水平距离(    )
 

A. 小于 B. 小于 C. 大于 D. 大于

9.如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在四边形中，，对角线与相交于点，，，，，则对角线与的长分别是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.如图，河堤横断面迎水坡的坡比坡比也叫坡度指点向水平面作垂线，垂足为，：：是：，河堤的高米，则坡面的长度是______ 米

12.在一个不透明的口袋中，装有个球，它们分别写有数字，，，这些球除上面数字外，其余都相同先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回；再摇匀，再摸出一球则摸出的两球的数字之和是的概率是______ ．

13.如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形，则该位似中心点的坐标是______ ．

14.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上轴，则的面积是______ ．

15.如图，在四边形中，，，，，，含角的直角三角板的顶点在边上移动，，直角边始终经过点，斜边与交于点当是以为腰的等腰三角形时，线段长度的最大值等于______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解方程：．

17.本小题分
在锐角中，和满足的关系式为求的度数．

18.本小题分
如图，小明与小颖在的小正方形网格中画出格点格点指小正方形的顶点，小正方形的边长为此时，细心的小颖发现利用网格可以提出下列问题，请你帮助小明解答小颖提出的问题：
求和的值；
在网格中存在格点∽，且与不全等，同一位置的格点只算一个，则符合条件的格点一共有______ 个

19.本小题分
如图，已知反比例函数和正比例函数的图象相交于点和点两点．
直接写出点的坐标；
求反比例函数的解析式；
点在轴上，的面积为，求点的坐标．

20.本小题分
如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为的宣传牌，即数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点到地面的距离根据所学的相关知识，他们分别在点和点处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点处的同学测得宣传牌底部点的仰角为，站在点处的同学测得宣传牌顶部点的仰角为，依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点到地面的距离的长？若能，请求出；若不能，请说明理由图中点，，，，，，在同一平面内参考数据：，，

21.本小题分
“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图图是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点顺时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图王红测得厘米，厘米，厘米根据王红提供的信息解答下列问题：
求点到的距离；
求点运动的距离．

 

22.本小题分
阿尔花拉子米约约，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”他利用正方形巧妙地解出了一元二次方程的一个解，具体做法如下：
将边长为的正方形和边长为的正方形，外加两个长为，宽为的长方形拼合在一起，面积就是，即而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为所以，则．
上述求解过程中所用的解题方法是______ ；
A.直接开平方法
B.公式法
C.配方法
D.因式分解法______ ；
所用的数学思想是
A.分类讨论思想
B.数形结合思想
C.转化思想
山西特产专卖店销售某品牌的枣夹核桃，进价为每袋元，现在按每袋元出售，平均每天售出袋由于货源紧缺，现要涨价销售经过市场调查发现，每袋售价每上涨元，则平均每天的销售量会减少袋若该专卖店销售这种枣夹核桃每天的利润为元，每袋销售单价上涨元，求与的函数解析式，并求出当是多少时，利润有最大值，最大值是多少？

23.本小题分
综合与探究
问题情境：
如图，已知为的直径，点为上异于，的一点，过点作的切线，过点作于点，连接．
探究发现：
证明：无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；
探究引申：
如图，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；
探究规律：
如图，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是： ______ ．

 

24.本小题分
综合与实践
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
点在轴上运动，点在抛物线上运动，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图．

在中，，，，
．
故选：．
根据锐角三角函数的正切值的定义解决此题．
本题主要考查三角函数中正切值，熟练掌握锐角三角函数中正切值的定义是解决本题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、是同弧所对的圆心角和圆周角，
；
故选D．
可由同弧所对的圆周角、圆心角的关系求出的度数．
此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

3.【答案】 

【解析】解：设解析式为，
将代入解析式得，
这个函数关系式为：，
把代入得，
表中“”处的数为，
故选：．
用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中代入，即可求出“”处的数．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式，

4.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的函数解析式为：，即．
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

5.【答案】 

【解析】解：、、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和相似，故选项A、不符合题意；
B、因为，且，则可得画出来的三角形和相似，故选项B不符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：、两个矩形的长与宽不一定对应成比例，因此内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意；
B、两个正方形四边对应成比例，四个角相等，因此内、外边框的图形一定相似，故B不符合题意；
C、两个等边三角形一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故C不符合题意；
D、两个圆一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故D不符合题意．
故选：．
由多边形相似的判定方法：各边对应成比例，各角对应相等，即可判断．
本题考查图形的相似，关键是掌握多边形相似的判定方法．

7.【答案】 

【解析】解：根据“杠杆定律”有，
函数的解析式为，
当时，，
因此，撬动石头需要，
故选：．
根据杠杆定律求得函数的解析式后代入求得力的大小即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．

8.【答案】 

【解析】解：当小红的眼睛的位置到时，，，共线，

，，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
在前进的过程中，小红发现看不到右边较高的树的顶端，此时，她与左边较低的树的水平距离小于．
故选：．
当小红的眼睛的位置到时，，，共线，此时由∽得到：：，求出即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，关键是从问题中抽象出相似三角形，由相似三角形的性质来解决问题．

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，，
，
，
将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，
，，
是等边三角形，
，
点与点的距离是，
故选：．
由锐角三角函数可求的长，由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握旋转的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，如图所示：

，，
．
，
∽，
．
，
．
，
，
．
，，
，
．
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
；
在中，
由勾股定理，得，
，
，
故选：．
过点作交于点，证明∽，求出，在利用勾股定理求出，即可求出，进一步利用勾股定理可求出，进而求出．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的值以及利用勾股定理求出的长度．

11.【答案】 

【解析】解：迎水坡的坡度：，
，
米，
在中，由勾股定理得，米，
故答案为：．
根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸出的两球的数字之和是的结果有种，
摸出的两球的数字之和是的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中摸出的两球的数字之和是的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：位似中心点的坐标是．
故答案为：．
直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：设交轴于点，

则，
故答案为：．
根据反比例函数的的几何意义求解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握的几何意义是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，于点，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
当是等腰三角形，且时，如图，
，，
，
，
；
当是等腰三角形，且时，如图，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
线段长度的最大值等于，
故答案为：．
作于点，于点，可证明四边形是矩形，得，，再证明≌，得，，即可根据勾股定理求得，再分两种情况讨论，一是，可证明；二是，可证明，根据勾股定理求得，由，可知线段长度的最大值等于．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

16.【答案】解：，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．

17.【答案】解：，
，，
，，
，，
，
即的度数是． 

【解析】根据非负数的性质得出，，求出和，进一步可以求出的度数．
本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值．

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点．

，，
，，
，
，
，；

所以使得∽的格点三角形一共有个．

故答案为：．
过点作于点，过点作于点利用面积法求出，再根据三角函数的定义求解即可；
根据网格画出使得∽同一位置的格点三角形只算一个的格点三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

19.【答案】解：反比例函数和正比例函数的图象相交于点和点两点．
、两点关于原点对称，
；
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
，
，
，
点的坐标为或． 

【解析】根据反比例函数的对称性即可求得点的坐标；
利用待定系数法即可求解；
利用求得，即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

20.【答案】解：能，理由如下：
延长交于，如图所示：
则，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
答：点到地面的距离的长约为． 

【解析】延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21.【答案】解：如图，过点作于，连接，，由题意可知，，，，
在中，，，
，
点到的距离为，
答：点到的距离为；
在中，，，
，
弧的长为，
答：点运动的距离为． 

【解析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出即可；
根据勾股定理求出的长，再根据弧长的计算方法求出弧的长即可．
本题考查解直角三角形，弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系以及弧长的计算方法是正确解答的关键．

22.【答案】   

【解析】解：由阅读材料可知所用方法为配方法．
故答案为：．
所用的思想方法为数形结合思想．
故答案为：．
利润为元，售价为元，根据题意得，
，
当时，有最大值，最大值为，
即售价为元时，获得最大利润为元．
由阅读材料所用方法可知答案；
结合图形来解题，故答案易得；
根据“总利润每千克利润每天的销售量”可列出函数解析式，将所列函数解析式配方成顶点式，根据二次函数解析式求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法，配方法及二次函数的性质，读懂题中的方法是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；
解：．
理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
；
解：为正三角形，
，，
，
，
，，
，
，
而，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，然后根据折叠的性质可判断将沿折叠，点一定落在直径上；
由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到；
先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质．

24.【答案】解：由题意，得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；

存在．由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，
，，
，
当时，则，
解得：舍去或，
即点的坐标为，
当时，，
解得：，
综上所述，满足条件的点坐标为或或；

设点的坐标为，点，
当是对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：不合题意的值已舍去，
即点的坐标为；
当是对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：，
即点的坐标为或；
当是对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：不合题意的值已舍去，
即点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或或． 

【解析】利用待定系数法转化为解方程组即可；
要分两种情况讨论：当时，当时，分别求出点坐标即可；
当是对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当是对角线时，同理可解．
本题考查二次函数综合题，涉及到待定系数法，平行四边形和等腰三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，题目综合性较强，属于中考压轴题．