(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.1《向量的加法运算》学案-人教A版

这是一份(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.1《向量的加法运算》学案-人教A版，共13页。

6.2.1　向量的加法运算知识点一　　　向量的加法(1)向量加法的定义eq \o(□,\s\up4(01))求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则知识点二　　向量的三角形不等式对任意两个向量a，b，均有|a＋b|eq \o(□,\s\up4(01))≤|a|＋|b|.当a，b同向时有|a＋b|eq \o(□,\s\up4(02))＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|eq \o(□,\s\up4(03))＝||a|－|b||.知识点三　　　向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))(平行四边形法则)，又因为eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．(　　)(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于eq \o(BC,\s\up16(→))的是(　　)A.eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)) B.eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))C.eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)) D.eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(FE,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))|等于(　　)A．1 B．2C.eq \r(3) D.eq \r(5)(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.答案　(1)C　(2)B(3)解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一(三角形法则)：如图①所示，作eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq \o(CD,\s\up16(→))＝c，则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c，即eq \o(AD,\s\up16(→))＝a＋b＋c.解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示．在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，以eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))为邻边作▱OADB，则对角线eq \o(OD,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，以eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OD,\s\up16(→))为邻边作▱OCED.则eq \o(OE,\s\up16(→))＝a＋b＋c.题型一 向量的三角形和平行四边形法则例1　如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．[解]　如下图中(1)，(2)所示，首先作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b.(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．(1)如图，已知a，b，求作a＋b；(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.解　(1)如图①，②所示．首先作eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，然后作eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up16(→))＝a＋b.(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，接着作向量eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则得向量eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b；然后作向量eq \o(BC,\s\up16(→))＝c，则向量eq \o(OC,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．　作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq \o(OE,\s\up16(→))＝eq \o(OD,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝a＋b＋c即为所求.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型二 向量的加法运算例2　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))；(2)eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))；(3)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(FE,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)).[解]　(1)eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))＝eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→)).(2)eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))＝(eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→)))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→)).(3)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(FE,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)).　解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.化简或计算：(1)eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))；(2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→)).解　(1)eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→)).(2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))＋(eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→)))＋eq \o(FA,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→))＝0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3　已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(DO,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→)).求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明]　eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，又∵eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．　怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．证明　∵eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))，eq \o(FC,\s\up16(→))＝eq \o(FD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))，又eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(FD,\s\up16(→))＝eq \o(BE,\s\up16(→))，∴eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(FC,\s\up16(→))，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形.题型四 向量加法的实际应用例4　在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq \r(3) km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．[解]　如图所示，eq \o(OA,\s\up16(→))表示水速，eq \o(OB,\s\up16(→))表示船实际航行的速度，eq \o(OC,\s\up16(→))表示船速，由eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→))，易知|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝10，又∠OBC＝90°，所以|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.　应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．解　如图所示，设eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800 km，从B地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|；两次行驶的位移的和指的是eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)).依题意，有|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800eq \r(2) km，方向为北偏东80°.1．下列等式错误的是(　　)A．a＋0＝0＋a＝aB.eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝0C.eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝0D.eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(MN,\s\up16(→))＋eq \o(NP,\s\up16(→))＋eq \o(PM,\s\up16(→))答案　B解析　对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量的三角形加法运算可得eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))，故原式等于eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))≠0.故B错误；对于C，可知eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))共线且方向相反，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝0，所以C正确；对于D，可知eq \o(MN,\s\up16(→))＋eq \o(NP,\s\up16(→))＋eq \o(PM,\s\up16(→))＝eq \o(MP,\s\up16(→))＋eq \o(PM,\s\up16(→))＝0，又eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，可知D正确．故选B.2．设P是△ABC所在平面内一点，且eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(BP,\s\up16(→))＋eq \o(BP,\s\up16(→))，则(　　)A.eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝0 B.eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＝0C.eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＝0 D.eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝0答案　C解析　因为P是△ABC所在平面内一点，eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(BP,\s\up16(→))＋eq \o(BP,\s\up16(→))，所以P是AC的中点，所以eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＝0.3．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案　8eq \r(2) km　北偏东45°解析　如图所示，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝8eq \r(2)，∠BAC＝45°.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|Aeq \o(B,\s\up16(→))|＝1，则|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))|＝________.答案　1解析　由题意知△ABD为等边三角形，∴|eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))|＝|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝1.5．如图，在正六边形OABCDE中，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OE,\s\up16(→))＝b，试用向量a，b将eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OD,\s\up16(→))表示出来．解　设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OE,\s\up16(→))＝a＋b.∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(ED,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(ED,\s\up16(→))＝a＋b.在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋a＋b.同理，在△OBC中，eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝a＋a＋b＋b，在△OED中，eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(ED,\s\up16(→))＝eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(OP,\s\up16(→))＝b＋a＋b.