重庆市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0， 若，则称集合为幸福集合等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由特称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可确定答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为.
故选：A
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求解集，再由集合的并运算求集合.
【详解】由题设，则.
故选：C
3. 若，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式求积的最大值.
【详解】由题意，
当且仅当时等号成立.
所以的最大值是.
故选：B
4. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次、一元一次不等式求集合，再由阴影部分的集合为，应用交补运算求集合，即可得答案.
【详解】由题设，
由图知：阴影部分为，而，则，
所以阴影部分共有5个元素.
故选：C
5. 设实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由题设不等式可得，故可判断A的正误，利用作差法可判断BCD的正误，故可得正确的选项.
【详解】因为，故，故A错误.
又，故，故，故B错误.
又，，
故，故C错误.
又，
由可得，
故，故即，故D正确.
故选：D.
6. 已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求为真对应x的范围，根据必要不充分条件求参数范围.
【详解】由或，
由，
又是成立的必要不充分条件，则且，
所以或，故的取值范围为.
故选：B
7. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设在上无解，结合二次函数性质求参数范围即可.
【详解】对于开口向上且对称轴为，，
由，即在上无解，
若时，只需，即；
若时，此时对称轴且，故满足题设；
综上，.
故选：A
8. 已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式且两不等式解集的交集中有且仅有一个整数，讨论参数求其范围.
【详解】对于或，
而解集与或的交集中有且仅有一个整数，
当时，解集为，此时满足要求；
当时，解集为，此时不可能满足题设；
当时，解集为，此时满足要求；
综上，实数的取值范围为.
故选：B
二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知命题“恒成立”为真命题，下列选项中可以作为的充分不必要条件的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知命题为真，根据一元二次不等式恒成立有求参数范围，再由充分、必要性定义判断的充分不必要条件.
【详解】由“恒成立”为真命题，故，
所以、是的充分不必要条件，是的充要条件，是的必要不充分条件.
故选：AD
10. 若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ）
A. 幸福集合个数为8
B. 幸福集合个数为7
C. 不含1的幸福集合个数为4
D. 元素个数为3的幸福集合有2个
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意写出所有的幸福集合，逐项分析即可得解.
【详解】具有“幸福关系”的元素组有：三组，
含一组的有，，共3个，
含二组的有，，共3个，
含三组有共1个.
所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对；
其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误；
其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.
故选：BD
11. 已知集合，若，，则（ ）
A.
B. 关于的不等式解集为或
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合A，再由交并集的结果可得，即是的两个根且，再结合各项判断正误.
【详解】由题设或，又，，
所以，故是的两个根且，A对；
则，则，C错；
，
所以，解集为，B错；
，即，D对.
故选：AD
12 已知正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式判断A，根据和得关系判断B，利用多变量变单变量法判断C，构造关于的二次函数关系判断D.
【详解】因为为正实数，
选项A：因为，则，即，
解得，，当且仅当时等号成立，故A错误；
选项B：因为，所以，
当且仅当时取得最小值，故B正确；
选项C：由得，当时显然不符合题意，所以，
则，得或（舍去），
则，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
选项D：，
令，由A可知，
则，
当且仅当时等号成立，故D错误；
故选：BC
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由原命题的否定为真命题可求参数的取值范围.
【详解】因为命题“，使得成立”是假命题，
故其否定为真命题，即，为真命题，
而，当且仅当时等号成立，
故.
故答案为：.
14. 设全集，集合，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得，解方程求参数，结合集合中元素的互异性确定参数值.
【详解】由且，则，
当，则，不满足集合元素的互异性；
当，此时，满足题设；
综上，.
故答案为：
15. 某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设该班总人数为，两个项目都参加人数为，根据题设并利用容斥原理列方程求，即可得答案.
【详解】设该班总人数为，则参加“毛毛虫”的人数为，参加“两人三足”的人数为，
若两个项目都参加的人数为，则两个项目都不参加的学生人数为，
所以，故该班参加“两人三足”比赛的人数是.
故答案为：
16. 对任意的正实数，且满足，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意将原式整理成，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可求得当，时的最小值为.
【详解】由正实数，且可得
;
当且仅当时，即时，等号成立；
又，
当且仅当，即时，等号成立；
所以当，时，等号成立，此时的最小值为.
故答案为：
四､解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知
（1）若，求与；
（2）是否存在，满足，且使得，存在则求出的值，不存在则说明理由.
【答案】（1），或.
（2）存在，使得，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义可求与；
（2）就、分类讨论后可求的值.
【小问1详解】
当时，，故，
故，，
故或.
【小问2详解】
因为，故，故.
由题设有，
若，则且，
故且，
故，，
由可得，无解.
若，则，
故且，
故，，
由可得，故.
综上，存在，使得.
18. 关于的不等式的解集为，
（1）求；
（2），若是的真子集，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）讨论参数a求不等式解集即可；
（2）由题设可得或，结合并讨论参数确定范围即可.
【小问1详解】
由，
当时，解集；
当时，解集；
当时，解集；
【小问2详解】
由，则或，又，
当时，显然不满足；
当时，则或，此时；
综上，的取值范围为.
19. 已知函数，命题；命题：已知恒成立.
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p，q这两个命题中存在假命题，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意上，由二次函数性质求函数最小值，即可得参数范围；
（2）由为真命题时，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，即得参数范围，讨论p，q存在假命题的情况求对应参数范围.
【小问1详解】
由p为真命题，则上，故.
【小问2详解】
若为真命题，则，而，
当且仅当时等号成立，故，而p为真时，
由于p，q这两个命题中存在假命题，且p为假，为假，
当p真q假时，a的取值范围；
当q真p假时，a的取值范围；
当q、p假时，a的取值范围；
综上，a范围为.
20. 某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.
（1）若，问学校该怎样选择；
（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值.
【答案】（1）选择乙工程队进行建造.
（2）
【解析】
【分析】（1）设甲工程队的总造价为元，得到，结合基本不等式求得，设乙工程队的总造价为元，得到，结合函数的单调性，求得，比较即可得到答案；
（2）根据题意，得到甲工程队的最低报价为，要使得乙工程队确保自己被选中，则满足，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：设甲工程队的总造价为元，
因为荣举室的左右两面墙的长度均为米，且长方体底面积为24平方米，
可得底面长方形的另一边长为米，
则甲工程队的总造价为：，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以（元），
当时，设乙工程队的总造价为元，
则，
因为函数在上为单调递减函数，所以（元），
由，所以学校选择乙工程队进行建造.
【小问2详解】
解：若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为（元），
若乙工程队确保自己被选中，则满足，
又由乙工程队的造价为，
由（1）知，当时，，
由，解得，因为，所以，
所以实数的最大值为.
21. 已知，非空集合
（1）证明：的充要条件是；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明；
（2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是.
【小问1详解】
充分性：若，则；
当时，可得
若，可得或；
当时，；即可得
所以可得集合中至少含有两个元素，可知，
当时，可得；此时当时，即可得；
此时，满足；综上可知充分性成立；
必要性：因为为非空集合，所以可知当时，
可知方程的所有实数根都是方程的实根，
即可得，
即，可得，所以必要性成立；
综上可得，的充要条件是；
【小问2详解】
若时，满足；
由（1）中的结论可得，
此时；
当时，可得，此时，符合题意；
当时，可得，此时；
为使可知，集合；
对于方程，令
①当时，即时，，符合题意；
②当时，即时，此时，但且，不合题意；
③当时，即或时，，
为使，需满足或，即，解得；
这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意；
综上可知，满足题意的的取值范围为
【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果.
22. 已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.
（1）集合具有性质，求的最小值；
（2）已知具有性质，求证：；
（3）已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
【答案】（1）6； （2）证明见解析；
（3）7，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值；
（2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论；
（3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值.
【小问1详解】
由性质定义知：，且，
所以的最小值为6.
【小问2详解】
由题设，且，
所以，
所以，得证.
【小问3详解】
由（2）知：，
同（2）证明得且，故，又，
所以在上恒成立，
当，取，则，故，
当，则，即.
综上，集合中元素个数的最大值为7.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据定义得为关键；第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键.