华师大版七年级上册第3章 整式的加减3.3 整式2 多项式教学设计

2.多项式

3.升幂排列与降幂排列

【基本目标】

1.要求学生能充分认识到单项式与多项式的区别；

2.能掌握多项式的有关概念，包括多项式的项、项数、次数、最高次项等；

3.能将一个多项式按某个字母的升幂排列和降幂排列.

【教学重点】多项式的相关概念.

【教学难点】多项式的次数.

一、情境导入，激发兴趣

1.什么样的式子是单项式？单项式的系数和次数分别是什么？

2.列代数式:

（1）若三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的周长是        ;

（2）某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有         人；

（3）如图，阴影部分的面积为         .

3.学生回答，答案为： （1）a+b+c   (2)x+21    (3)2ar-πr2

【教学说明】教师复习提问，学生回答和尝试解题，既巩固了前面单项式的相关知识，也为后面的学习奠定了基础.

二、合作探究，探索新知

1.多项式的有关概念

（1）观察思考：上面探究的这些式子是单项式吗？

a+b+c        x+21      2ar-πr2

【教学说明】主要是让学生对单项式和多项式进行一个对比，在比较中产生新的认识.这也是我们学生学习新知识的一个非常有用的方法，必须加以重视.

（2）它们都有什么共同特点？它们与单项式有什么联系和区别？

由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的表达能力.通过对特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充.

小结：(1)多项式的概念：上面列出的代数式都是由几个单项式相加而成的.几个单项式的和叫做多项式.

（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫做几项式.

（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，叫做多项式的次数.

（4）整式的概念：单项式和多项式统称整式.

注意：（1）多项式是由单项式构成的，它是几个单项式的和；

（2）多项式的次数不是所有项的次数之和；

（3）多项式的每一项都包括它前面的符号.

教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想.

【教学说明】在分析中，多项式的次数应是重中之重，而一个多项式中的最高次项可能不只一个，必须给学生讲清，并可适当举例说明.

2.升幂排列与降幂排列

（1）任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到哪些不同的排列方式？在这些排列方式中，你认为哪几种比较有规律？

（2）学生自主探究，得出结论：任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到6种不同的排列方式，在这些排列方式中，“x2+x+1”与“1+x+x2”的排列是比较有规律的.那么，它们有什么规律呢？

（3）学生观察思考后回答.

教师小结：

我们可以发现：这两种排列方式有一个共同特点：x的指数呈现一种逐渐变大或逐渐变小的排列顺序.

从上面的两种整齐的写法中，我们发现：除了美观之外，还会为今后的计算带来方便，因而我们常常把一个多项式各项的位置按照其中一字母的指数大小顺序来排列.

（4）升幂排列与降幂排列的概念：

把一个多项式按照同一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的降幂排列；

把一个多项式按照同一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的升幂排列.

【教学说明】在排列中，应能让学生说出哪几种排列比较整齐，这样让学生去体验它所蕴含的排列组合思想与数学美感.能培养学生的审美观，也有利于教师把握本节课的情感因素，为本节课打下良好的情感基础.

三、示例讲解，掌握新知

例1指出下列多项式的项和次数：

（1）a3－a2b+ab2－b3；

（2）3n4－2n2+1．

 解：（1）多项式a3－a2b+ab2－b3的项有a3，－a2b，ab2，－b3；次数是3．

（2）多项式3n4－2n2+1的项有3n4，－2n2，1；次数是4．

【教学说明】学生尝试解答后，教师强调：（1）多项式的每一项都包括它前面的正负号；

（2）多项式的次数是指次数最高次项的次数，不是所有项的次数之和.

 例2指出下列多项式是几次几项式:

（1）x3－x+1；（2）x3－2x2y2+3y2．

 解:（1）x3－x+1是一个三次三项式；

（2）x3－2x2y2+3y2是一个四次三项式．

【教学说明】学生解答后，教师强调：先确定多项式的项数和次数，几次几项式的数字大写.

例3把多项式2r－1+r3－r2按r升幂排列.

解:按升幂排列为：－1+2r－r2+r3.

例4把多项式a3＋b2－3a2b－3ab3重新排列：

（1）按 a升幂排列；（2）按a降幂排列．

解:（1）按 a升幂排列为：

b2－3ab3－3a2b＋a3；

（2）按a降幂排列为：

a3－3a2b－3ab3＋b2．

【教学说明】教师根据学生解答出现的典型问题着重强调：（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母的升幂排列或降幂排列.

四、练习反馈，巩固提高

1.填空题：

（1）下列整式：―x2,（a+b）c，3xy，0，，―5a2+a中，是单项式的有          ，是多项式的有           .

（2）多项式―a3b―7ab―6ab4+1是       次       项式，次数最高项的系数是         .

（3）－a2b－ab+1是    次     项式，其中三次项系数是      ，二次项为       ，常数项为        .

2.指出下列多项式的次数与项：

（1）－；（2）a2+2a2b+ab2－b2.

3.把多项式3xy-4x2y2+x3-5y3重新排列：

（1）按x的升幂排列

(2)按y的升幂排列

【教学说明】第1、2题主要是对多项式的相关概念的应用，教师应关注学生对多项式次数的理解以及书写的规范性.第3题是升幂排列和降幂排列，主要是要注意每一项移动时要连同符号一起移动.

【答案】1.（1）单项式：-x2,3xy,0多项式：（a+b)c,,-5a2+a;(2)五，四，-6;

（3）三，三，-，-ab,1.

2.(1)二次项：,-

(2)三次项：a2,2a2b,ab2,-b2

3.(1)-5y3+3xy-4x2y2+x3

(2)x3+3xy-4x2y2-5y2

五、师生互动，课堂小结

1.多项式的相关概念：

(1)多项式的概念：上面列出的代数式都是由几个单项式相加而成的.几个单项式的和叫做多项式.

（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫做几项式.

（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，叫做多项式的次数.

（4）整式的概念：单项式和多项式统称整式.

2.应该注意的几个问题：

（1）多项式是由单项式构成的，他是几个单项式的和；

（2）多项式的次数不是所有项的次数之和；

（3）多项式的每一项都包括它前面的符号.

3.升幂排列与降幂排列：

把一个多项式按照同一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的降幂排列；

把一个多项式按照同一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的升幂排列；

4.应该注意的几个问题：

（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；

（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.

【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对需要注意的地方再次予以强调，加深学生的印象.

完成本课时对应的练习.

本节课主要内容是多项式的相关概念和升幂排列与降幂排列，首先以实际的例子引入多项式，主要让学生区别多项式与单项式，找到多项式的特征，弄清多项式与单项式的联系与区别；接着教师指出多项式的项和次数，这里要特别注意多项式的次数与单项式次数的区别，避免学生混淆.教师通过具体的实例，让学生体会什么是升幂排列与降幂排列，这里主要提醒学生注意在移动多项式的项的时候，要连同它的符号一起移动.