安徽省桐城中学2021-2022学年高三数学（理）上学期第二次月考试题（Word版附解析）

安徽省桐城中学2021-2022学年高三上学期

第二次月考数学（理）

（考试总分：150 分 考试时长：  120  分钟）

一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据全程量词命题的否定直接判断即可.

【详解】命题“，”为全称量词命题，

其否定为存在量词命题，

故选：C.

2. 已知，为实数，则“，”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】分析命题“若，，则”与“若，则，”的真假即可得解.

【详解】因，为实数，且，，则由不等式性质知，命题“若，，则”是真命题，

当成立时，“，”不一定成立，比如，，满“”，而不满足“，”，

即命题“若，则，”是假命题，

所以“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3. 已知全集，则集合（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合并集和补集的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

因此，

故选：C

4. 若，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.

【详解】，，

.

故选：C.

5. 函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，设，则下列结论中正确的是

A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称

C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数的性质

【详解】首先考查函数，

其定义域为，且，

则函数为偶函数，其图像关于轴对称，

将的图像向左平移一个单位可得函数的图像，

据此可知的图象关于对称.

故选D.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6. 已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（    ）

A. 8 B. -8 C. 16 D. -16

【答案】C

【解析】

【分析】由已知，根据的奇偶性可得，进而求.

【详解】由题意，，

∴，即，

∴.

故选：C

7. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个后可得结论．

【详解】本题考查函数的图象与性质.∵，是偶函数，∴排除A，B选项，

又∵当时，，∴排除D选项.

故选：C．

8. 若函数y＝f(x)的定义域是[0，2020]，则函数的定义域是（    ）

A. [－1，2019] B. [－1，1)∪(1，2019]

C. [0，2020] D. [－1，1)∪(1，2020]

【答案】B

【解析】

【分析】求的定义域转化为求与分式定义域的交集．

【详解】使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 020，解得－1≤x≤2019，

故函数f(x＋1)定义域为[－1，2019]．

所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或1<x≤2019.

故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2 019] ．

故选：B．

【点睛】对于抽象函数定义域的求解，（1） 若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 .

（2）若复合函数 的定义域为，则函数的定义域为在上的值域．

9. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题设条件可得是周期为4的周期函数，结合给定区间解析式，利用周期性、奇偶性求的值.

【详解】由题意，在上奇函数，且，得，

∴，则，即，

∴，即是周期为4的周期函数，

当时，，则.

故选：B.

10. 已知是定义在上的单调函数，对于，均有，则“”是“在上恒成立”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 充要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】令，由题可求得，得出，因为“在上恒成立”等价转化为对恒成立，利用导数求出的最大值，得到其充分必要条件，然后即可判断.

【详解】令，则．

由，，即，

是的单调递增函数，且，，

，

“在上恒成立”等价于对于恒成立．

令，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减,，故“在上恒成立”等价于．

是的充分不必要条件，∴“”是“在上恒成立”充分不必要条件，

故选：A．

11. 设，其中，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.

【详解】详解：由题意，，

由表示两点与点的距离，

而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，

则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，

由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，

由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，

即为切点，设，

由，可得，

设，则递增，且，可得切点，

即有，则的最小值为，

故选：B.

12. 若，恒成立，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设,则，原不等式等价于恒成立,通过求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，得到参数值.

【详解】设,则，原不等式等价于恒成立，

设是单调递增的，零点为,

在，函数y的最小值为1，故，，零点是 在上单调递增，故，故.

故答案为C.

【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．

二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）

13. 函数的单调递增区间是________

【答案】

【解析】

【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.

【详解】

当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，

故答案为：

【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14. 已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数所过的点求出解析式，利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.

【详解】设幂函数，其图象过点，

所以，即，解得：，所以，

因为，

所以为奇函数，且在和上单调递减，

所以可化为，

可得，解得：，

所以的范围为，

故答案为：．

15. 已知方程表示是焦点在y轴上的椭圆，:对任意，直线与圆恒有公共点.若是假命题，是真命题，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据直线过定点可得需在圆内或圆上，即可求解为真命题的范围，进而根据椭圆的性质求解为真，分两种情况，，一真一假即可求解.

【详解】若为真命题，则，

由于直线恒过定点，故直线与圆恒有公共点.，则在圆内或圆上，故或，

故为真命题时，则或，

由于是假命题，是真命题，故中一真一假，

当真假时，则，解得，

当真假时，则，解得或，

综上可知：或或，

故答案为：

16. 已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：

①函数在上单调递增；

②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；

③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；

④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.

其中所有正确结论的编号是___________.

【答案】①④

【解析】

【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④；

【详解】当时，，此时不满足方程；

若，则，即

若，则，即

作出函数在时的图像，如图所示，

对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确；

对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；

对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或

当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：

（1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8；

（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误；

对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确.

故答案为：①④

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）

17. 已知数列为等差数列，且公差不为0，，是与的等比中项．

(1)求数列的通项公式，

(2)记，求数列的前项之和．

【答案】(1)；(2)．

【解析】

【分析】(1)利用等差数列通项公式结合已知条件列方程求数列的首项和公差，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法求.

【详解】解：(1)设数列的公差为，由已知得：

即，又

∴

∴

(2)∵

∴

18. 已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集.：，：.

（1）若，求的取值范围；

（2）若：，且是的充分不必要条件，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）分别求函数的定义域和不等式的解集化简集合，由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；

（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的范围．

【详解】解：（1）由条件得：，或，

若，

则必须满足，解得，

所以的取值范围为：；

（2）由：，可得：：或，

∵是的充分不必要条件，

∴或是或的真子集，

则且等号不同时成立，解得，

∴的取值范围为：.

19. 在四棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点．

（1）线段的中点为，求证平面；

（2）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证明面面平行，再由面面平行得线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的平面角的余弦值即可.

【小问1详解】

当点为的中点时，平面．

因为，分别为，的中点，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

因为，所以四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

因为，平面，

所以平面平面．

因为平面，所以平面．

【小问2详解】

取的中点为．由已知可得，．

因为平面，平面，所以，，

则以为坐标原点，为轴的正方向，为y轴的正方向，为轴的正方向建立空间直角坐标系．

，，，．

设，则，

则，，

所以，

解得或（舍）．

因为，所以，

所以点，

，，，．

设平面的法向量为，

则

令，则．

设平面的法向量为，

则

令，则，

所以，

由图易知二面角为锐角，

所以二面角的平面角的余弦值为．

20. 已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数恰有四个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）单调增区间，单调减区间或；（2）.

【解析】

【分析】(1)求导数，根据导数的正负确定函数单调性.

(2)设转换为二次方程，确定二次方程有两个不同解，根据方程的两个解与极值关系得到范围.

【详解】解：(1)令，得，故函数的单调增区间为单调减区间为或 

（2）令因为关于的方程至多有两个实根，

①当显然无零点，此时不满足题意；

②当有且只有一个实根，结合函数的图像，可得此时至多上零点也不满足题意         

③当，此时有两个不等实根设若要有四个零点则而，所以解得又故

【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的零点问题，综合性大，计算较难，意在考查学生对于函数导数知识的综合灵活运用和计算能力.

21. 已知椭圆：的焦距为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）由椭圆的焦距为2，且椭圆C过点，列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（2）设直线的方程为，由，消去得

.利用韦达定理可得，点P在椭圆上可得表示平行四边形面积即可.

【详解】解：（1）由题意可知椭圆的左、右焦点分别为，，

又椭圆经过点，所以，

即，

所以，即，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，由，消去得

.设，，，

则有，即，

又，

因为四边形为平行四边形，所以，故，

，

所以，

由点在椭圆上可得，化简得

而 .

又因为，所以，

所以，

所以.

又点到直线的距离，

故的面积.

所以平行四边形的面积为.

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点公式、弦长公式的合理运用．

22. 已知函数其中a>0.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值．

【答案】（1）单调递增区间是，；单调递减区间是

（2）

（3）

【解析】

【详解】（1）解：

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是.

（2）解：由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当，解得.

所以，a的取值范围是.

（3）解：a=1时，.由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，在上单调递增.

（1）当时，，，在上单调递增，在上单调递减.因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者.由知，当时，，故，所以.而在上单调递增，因此.所以在上的最小值为.

（2）当时，，且.

下面比较的大小由在，上单调递增，

有

又由，，

从而，

所以 综上，函数在区间上的最小值为