2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(五)

这是一份2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(五)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2021·重庆市期末]已知a＝(2，1)，b＝(sin α，cs α)，若a⊥b，则tan α＝( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．2 D．－2
2．[2021·北京市期末]已知向量a＝(1， eq \r(3) )，向量b＝(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) )，则向量a与向量b的夹角为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
3．[2021·北京市期末]设非零向量a，b，则“(a－b)·(a＋b)＝0”是“|a|＝|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．[2023·江苏省徐州市高三上学期期中]已知a，b，c均为单位向量，且a＋2b－2c＝0，则b·c＝( )
A． eq \f(3,8) B． eq \f(5,8) C． eq \f(7,8) D． eq \f(9,8)
5．[2023·山西省长治市月考]在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3 eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝0，点O在线段CD上(与点C，D不重合).若 eq \(AO,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x)) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则x的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，0)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
6．[2023·湖南五校联考]已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则 eq \f(1,x) ＋ eq \f(4,y) 的最小值为( )
A．4 B．9 D．8 D．10
7．[2023·河南省豫南九校联考]已知圆O的半径为2，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若cs ∠BOC＝ eq \f(\r(6),4) ，则 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OC,\s\up6(→)) ＝( )
A．－ eq \r(6) B． eq \r(6) C．－ eq \r(10) D． eq \r(10)
8.
[2023·沧州模拟]在△ABC中， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝3 eq \(EC,\s\up6(→)) ，D是BE上的点，若 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则实数x的值为( )
A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(2,3) C． eq \f(4,3) D． eq \f(1,9)
9．[2021·辽宁铁岭市二模]△ABC的外接圆的半径等于3，AB＝4，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．[－4，24] B．[－8，20]
C．[－8，12] D．[－4，20]
10．[2023·四川省成都市树德中学模拟]平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(1， eq \r(3) )，C(3， eq \r(3) )，下列说法不正确的是( )
A．若 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x)) eq \(OB,\s\up6(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R)) ，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OP,\s\up6(→)))) 的最小值为 eq \r(3)
B．若 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x－y)) eq \(OC,\s\up6(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y，x＋y∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)))) ，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OP,\s\up6(→)))) 的最大值为2 eq \r(3)
C．若 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y)) ≤1，则点P表示的平面区域的面积为4 eq \r(3)
D．若 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ＋z eq \(OC,\s\up6(→)) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y)) ＋z≤1，z≥0，则点P表示平面区域的面积为8 eq \r(3)
11．[2023·岐山模拟]已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)，t∈R，则|ta－ eq \r(5) b|的最小值为( )
A． eq \r(2) B． eq \r(3) C．2 D．10
12．[2023·辽宁省实验中学高三期中测试]数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若AB＝4，AC＝2，则下列各式不正确的是( )
A． eq \(AG,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) －4＝0
B．2 eq \(GO,\s\up6(→)) ＝－ eq \(GH,\s\up6(→))
C． eq \(AO,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＋6＝0
D． eq \(OH,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→))
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．[2023·宁夏石嘴山市平罗中学高三模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－1)，c＝(1，λ).若 c∥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ，则λ＝________．
14．[2023·北京海淀区模拟]已知正方形ABCD的边长为 eq \r(3) ，若 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝3 eq \(PD,\s\up6(→)) ，则 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) 的值为________．
15．已知向量a＝(1，3)，b＝(sin α，cs α)，若a∥b，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))) ＝________．
16．[2023·江西省丰城中学考试]已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足| eq \(OP,\s\up6(→)) |＝1，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AD,\s\up6(→)) ，其中m、n∈R.则 eq \f(2m＋1,2n＋2) 的最大值为__________．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
[2023·江苏省盐城市检测]已知|a|＝1，a·b＝ eq \f(1,4) ，(a＋b)·(a－b)＝ eq \f(1,2) .
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
18．(本小题满分12分)
在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．
(1)若 eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(CD,\s\up6(→)) ，设 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AD,\s\up6(→)) ，求λ·μ的值；
(2)若AB＝3，BC＝4，当 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BF,\s\up6(→)) ＝2时，求DF的长．
19.(本小题满分12分)
[2023·江苏省扬州中学高三考试]已知△ABO中，延长BA到C，使AC＝BA，D是将 eq \(OB,\s\up6(→)) 分成2∶1的一个分点，DC和OA交于E，设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b.
(1)用a，b表示向量 eq \(OC,\s\up6(→)) ， eq \(DC,\s\up6(→)) .
(2)若 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ，求实数λ的值．
20．(本小题满分12分)
[2023·安徽省示范高中联考]已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－λ)) eq \(AN,\s\up6(→)) ”．此结论往往称为向量的爪子模型．
(1)给出这个结论的证明；
(2)在△OAB的边OA、OB上分别取点E、F，使 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(OB,\s\up6(→)) ，连结BE、AF交于点G.设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b.利用上述结论，求出用a、b表示向量 eq \(OG,\s\up6(→)) 的表达式．
21.(本小题满分12分)
[2023·湖南月考]已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足sin B sin C＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求 eq \(OA,\s\up6(→)) ·( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )的取值范围．
22．(本小题满分12分)
[2023·山东济南月考]在平面中，已知向量a，b的夹角为 eq \f(π,3) ，|a－b|＝6，向量c－a，c－b的夹角为 eq \f(2π,3) ，|c－a|＝2 eq \r(3) .
(1)求a与c的夹角；
(2)求a·c的最大值．