2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(十)

这是一份2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(十)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．方程 eq \f(x2,2sin θ＋4) ＋ eq \f(y2,sin θ－3) ＝1(θ∈R)所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
2．[2023·四川省高三考试]椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．[2023·陕西省西安市高三模拟]设经过点F(1，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．[2023·四川省德阳市高三考试]若双曲线x2－ eq \f(y2,m) ＝1的一个焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，0)) ，则m＝( )
A． eq \f(\r(2),4) B． eq \f(1,8) C．2 eq \r(2) D．8
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，M为抛物线C上的一点，O为原点．若△OFM为等腰三角形，则△OFM的周长为( )
A．4 B．2 eq \r(5) ＋1
C． eq \r(5) ＋2或4 D． eq \r(5) ＋1或4
6．设F1，F2分别是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，直线l在y轴上的截距为1.若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的长轴长为( )
A． eq \f(\r(3),3) B．3 C． eq \r(6) D．6
7．已知双曲线C1： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝ eq \f(8\r(3),3) y B．x2＝ eq \f(16\r(3),3) y
C．x2＝8y D．x2＝16y
8．已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1·PF2＝0，若△PF1F2的面积为9，则b的值为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
9．[2023·陕西省安康市高三联考]已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0)) ，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 eq \f(1,2) ，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝ eq \f(π,3) ，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为( )
A． eq \f(x2,12) ＋ eq \f(y2,9) ＝1 B． eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,12) ＝1
C． eq \f(x2,24) ＋ eq \f(y2,18) ＝1 D． eq \f(x2,32) ＋ eq \f(y2,24) ＝1
10．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A.3 B．2 C． eq \r(3) D． eq \r(2)
11．[2023·广西柳州市高三模拟]已知F1、F2分别为双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0)) 的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP)) ＝b，且 eq \f(sin ∠PF1F2,sin ∠PF2F1) ＝3，则该双曲线C的离心率为( )
A． eq \r(2) B． eq \f(\r(6),2) C．2 D． eq \r(3)
12．已知抛物线C：y2＝4x，点D(2，0)，E(4，0)，M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND，并分别延长交抛物线C于点P，Q，连接PQ.若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则 eq \f(k2,k1) ＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若抛物线y＝ax2(a>0)的焦点与椭圆 eq \f(x2,2) ＋y2＝1的上顶点重合，则a＝________．
14．已知直线y＝a与双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2.若|PA2|＝ eq \f(\r(5),2) |A1A2|，则双曲线C的离心率为________.
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则点F的坐标为____________；过点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝4，则△AOB的面积为____________．
16．已知F1，F2为椭圆 eq \f(x2,4) ＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q是△F1PF2内切圆的圆心，过点F1作F1M⊥PQ于点M，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为________．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
如图，A，B，C是椭圆M： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC.
(1)求椭圆M的离心率；
(2)若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程．
18．(本小题满分12分)
[全国卷Ⅱ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
19.(本小题满分12分)
[2023·浙江省高三联考]已知点A(2，1)在双曲线C： eq \f(x2,2) － eq \f(y2,b2) ＝1(b>0)上．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)设直线l：y＝k(x－1)与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N.当△AMN的面积为 eq \r(2) 时，求k的值．
20．(本小题满分12分)
[2023·四川省南充市高三模拟]已知椭圆E： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(\r(3),2) ，且a－b＝1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(4，0)且斜率不为0的直线l与E自右向左依次交于点A，B，点Q在线段AB上，且 eq \f(|PA|,|PB|) ＝ eq \f(|QA|,|QB|) ，求证： eq \(OP,\s\up6(→)) · eq \(OQ,\s\up6(→)) 为定值．
21.(本小题满分12分)
[2023·广西贵港市高三联考]已知抛物线C：y2＝2px eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p>0)) ，过点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3)) 作直线与C交于M，N两点，当该直线垂直于x轴时，△OMN的面积为2，其中O为坐标原点．
(1)求C的方程；
(2)若C的一条弦ST经过C的焦点，且直线ST与直线MN平行，试问是否存在常数Ω，使得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QM)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QN)) ＝Ω|ST|恒成立？若存在，求Ω的值；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)
[2023·河南省洛阳市摸底考试]已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)过点(－1，－ eq \f(3,2) )，( eq \f(1,2) ，－ eq \f(3\r(5),4) ).
(1)求C的方程；
(2)记C的左顶点为M，上顶点为N，点A是C上在第四象限的点，AM，AN分别与y轴，x轴交于P，Q两点，试探究四边形MNQP的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．