2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(八)

单元检测(八)　立体几何

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设α，β是两个不同的平面，则α⊥β的充要条件是(　　)

A．平面α内任意一条直线与平面β垂直

B．平面α，β都垂直于同一条直线

C．平面α，β都垂直于同一平面

D．平面α内存在一条直线与平面β垂直

2．经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体(如图)，现将此几何体水平放置，从如图所示的方向观察该几何体(正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线)，则其正视图、侧视图、俯视图的形状分别为(　　)

A.梯形、长方形、圆   

B．三角形、长方形、圆

C．梯形、梯形、圆   

D．三角形、梯形、圆

3．[2023·四川省成都市阳安中学月考]设a，b为两条直线，α、β为两个平面，下列说法正确的是(　　)

A．若a⊥b，a⊥α，则b⊥α

B．若a⊥b，b⊂α，则a∥α

C．若a∥b，a∥α，则b∥α

D．若α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β

4．[2023·河北唐山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为(　　)

A．2    B．3    C．    D．2

5．[2023·安徽省九师联盟高三质量检测]用一个平面去截正方体，如果截面是三角形，则截面三角形的形状不可能是(　　)

A．直角三角形    B．等腰三角形

C．锐角三角形    D．等边三角形

6．[2023·江西省“红色十校”联考]在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AD＝2AB＝2AA1，则异面直线AC1与BB1所成角的余弦值为(　　)

A．    B．    C．    D．

7．[2023·云南昆明模拟]如图①，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC.如图②，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N.对于图②，下列选项错误的是(　　)

A．平面PAB⊥平面PBC

B．BC⊥平面PDC

C．PD⊥AC

D．PB＝2AN

8．[2023·怀仁市一模]在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为(　　)

A.12π    B．34π    C．68π    D．126π

9．[2023·甘肃省张掖市某重点校检测]已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为(　　)

A．    B．    C．    D．

10．[2023·广西贵港市百校联考]正三棱柱ABC ­ A1B1C1的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为BB1，CC1的中点，若点P是三棱柱内(含棱柱的表面)的动点，MP∥平面AB1N，则动点P的轨迹面积为(　　)

A．5    B．5    C．    D．

11．[2023·江门市模拟]如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，DA＝DC＝，现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是(　　)

A．π    B．π    C．π    D．12π

12.

[2023·四川省蓉城名校联考]如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知AB＝，BC＝1，∠ACB＝60°，球O的表面积为32π，下列说法正确的是(　　)

A．AB⊥OC

B．平面OAB⊥平面OBC

C．OB与平面ABC所成角的正弦值为

D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13.

[2023·四川绵阳检测]如图，正八面体的棱长为2，则该正八面体的体积为________.

14．如图，四棱台A1B1C1D1－ABCD的底面是正方形，DD1⊥底面ABCD，DD1＝AB＝2A1B1，则直线AD1与BC1所成角的余弦值为________．

15．[2023·黑龙江齐齐哈尔市模拟]三棱锥P ­ ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，在底面ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则三棱锥P－ABC的外接球的体积等于________．

16．[2021·陕西高三二模]将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AB，CD所成的角为60°；②△ADC为等边三角形；③AC⊥BD；④AB与平面BCD所成角为60°.其中真命题是________．(请将你认为是真命题的序号都填上)

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

如图，在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF∥平面PDE.

18．(本小题满分12分)

[2023·四川省成都市月考]如图，在三棱锥S ­ ABC中，AB＝AC＝2，SA＝SB＝SC＝3，BC＝2，D为BC的中点．

(1)证明：SD⊥平面ABC；

(2)若点E在棱AC上，且EC＝2EA，求点C到平面SDE的距离．

19.

(本小题满分12分)

如图，已知圆台O1O的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为，AA1，BB1为母线，平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，M为BB1的中点，P为AM上的任意一点．

(1)证明：BB1⊥OP；

(2)当点P为线段AM的中点时，求平面OPB与平面OAM所成锐二面角的余弦值．

20．(本小题满分12分)

[2023·湖南省部分校检测]如图，在直角△POA中，PO⊥OA，PO＝2OA＝4，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使∠AOB＝90°，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且＝.

(1)求点O到平面PAB的距离；

(2)设直线PC与平面PAB所成的角为φ，求sin φ的值．

21．(本小题满分12分)

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2.

(1)求证：平面ADE⊥平面BFED.

(2)若P为线段EF上一点，直线AD与平面PAB所成的角为θ，求θ的最大值．

22．(本小题满分12分)

[2023·沈阳市质量监测]如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝90°，AD＝，BE＝3，CF＝4，EF＝2.

(1)求证：AE∥平面DCF.

(2)当AB的长为何值时，二面角A ­ EF ­ C的大小为60°？