2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测 (十二)

单元检测(十二)　算法、复数、推理与证明

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．[2023·四川高三考试]在复平面内，复数z满足z(1＋i)＝2，则复数z对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”的正确假设为(　　)

A．自然数a，b，c中至少有两个偶数

B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．自然数a，b，c都是奇数

D．自然数a，b，c都是偶数

3．[2023·西藏拉萨高三月考]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

A．8n－2    B. 6n－2

C．8n＋2    D. 6n＋2

4.

已知i为虚数单位，如图，网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数为z，则复数的共轭复数是(　　)

A．－i    B．1－i    C．i    D．1＋i

5．执行如图所示的程序框图，如果输入的N＝100，则输出的x＝(　　)

A．0.95    B．0.98

C．0.99    D．1.00

6．[2023·河北省石家庄市高三一模]若复数z＝(1＋2i)(a－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．

B.

C．

D. ∪

7．[2023·江苏省高三测试]关于椭圆C：＋＝1，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为x＝4；如果只有一个假命题，则该命题是(　　)

A. 甲    B. 乙    C. 丙    D. 丁

8．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)

A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

9．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2 016a2 017>1，<0，下列结论中正确的是(　　)

A．q<0

B．a2 016a2 018>1

C．T2 016是数列{Tn}中的最大项

D．S2 016>S2 017

10．[2023·黑龙江哈九中模拟]观察下列等式，13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＋…＋n3＝(　　)

A．    B．

C．    D．

11．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(即176两)，问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤(即176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为(　　)

A．90，86    B．94，82

C．98，78    D．102，74

12．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：

①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信．

已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是(　　)

A．玩游戏    B．写信

C．听音乐    D．看书

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.

14．[2023·陕西省咸阳市高三三模]观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…照此规律，第n个不等式为________．

15．如图是求样本x1，x2，…，x10的平均数的程序框图，则空白框中应填入的内容为________．

16．[2023·河北石家庄高三联考]中国元代数学家朱世杰1303年左右完成的数学著作《四元玉鉴》中好多方法，在当时世界上遥遥领先．如该书下卷“果垛垒藏”这一章中的第七问，可体会到中国元代数学已经发展到什么程度，今有圆锥垛，果子积九百三十二个，问高几层？术曰：立天元一为层数．如积求之，得七千四百五十五为益实，二为从方，三为从廉，二为正隅．立方开之，合问．这个问题意思是说，把圆的果实(如桔子)堆垒成圆锥垛，(圆锥垛特点：下一层果实之间的缝隙所构成的行数要等于上一层果实的行数，使得上一层果实恰好放到下一层果实的缝隙上)现在堆垒了932个果实，问堆垒了多少层？解决如下：设未知量(天元一)为圆锥垛的层数，利用总数(积)列方程求之，可以得到常数项(益实)为－7455，一次项系数(从方)为2，二次项系数(从廉)为3，三次项系数(正隅)为2的三次方程，开立方就能得到层数．也就是说层数为方程：2x3＋3x2＋2x－7455＝0的解．根据你的分析，圆锥垛第五层有果实______个，932个果实堆垒了________层．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

设复数z＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m取何值时．

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z对应的点位于复平面的第二象限．

18．(本小题满分12分)

已知复数z1＝sin 2x＋ti，z2＝m＋(m－cos 2x)i，i为虚数单位，t，m，x∈R，且z1＝z2.

(1)若t＝0且0<x<π，求x的值；

(2)设t＝f(x)，已知当x＝α时，t＝，求cos (4α＋)的值．

19.(本小题满分12分)

已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝0，其前n项和为Sn，且a2＋2，S3，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn－2n<.

20．(本小题满分12分)

已知函数f1(x)＝sin ，x∈R，记fn＋1(x)为fn(x)的导数，n∈N*.

(1)求f2(x)，f3(x)；

(2)猜想fn(x)，n∈N*的表达式，并证明你的猜想．

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

求证：(1)PE⊥BC；

(2)平面PAB⊥平面PCD；

(3)EF∥平面PCD.

22．(本小题满分12分)

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x0使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．

(1)函数f(x)＝＋1是否属于集合M？请说明理由；

(2)函数f(x)＝ln ∈M，求实数a的取值范围；

(3)设函数f(x)＝3x＋x2，证明：函数f(x)∈M.