2024年数学高考大一轮复习第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

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考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
1.函数与映射的概念
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.
2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1交点.
3.注意以下几个特殊函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)f(x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.
2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].
3.(2021·贵阳诊断)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x （x≤0），,lg3x（x>0），)) 则feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝( )
A.－1 B.2
C.eq \r(3) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)1，))则f(x)的值域为________.
答案 (0，1)∪[2，＋∞)
解析 当x≤1时，f(x)＝x2＋2，
∴f(x)∈[2，＋∞)，
当x>1时，f(x)＝eq \f(1,x)，∴f(x)∈(0，1).
综上，f(x)的值域为(0，1)∪[2，＋∞).
考点一 函数的定义域
1.函数y＝eq \r(1－x2)＋lg2(tan x－1)的定义域是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，1))
解析 要使函数y＝eq \r(1－x2)＋lg2(tan x－1)有意义，
则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴－1≤x≤1且eq \f(π,4)＋kπ2，所以f(eq \r(6))＝6－4＝2，
所以f(f(eq \r(6)))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.
(2)由题意，若a－1≤0，即a≤1，
则lg2(3－a＋1)＝eq \f(1,2)，则a＝4－eq \r(2)>1，不符合题意；若a－1>0，即a>1，则2a－1－1＝eq \f(1,2)，则a＝lg23>1成立.
角度3 分段函数与不等式
例4 (2021·合肥模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)