2024年数学高考大一轮复习第二章 培优课 §2.5　函数性质的综合应用（附答单独案解析）

§2.5　函数性质的综合应用

函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．

题型一　函数的奇偶性与单调性

例1 (2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞)

B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞)

D．[－1,0]∪[1,3]

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思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．

(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．

跟踪训练1 函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，f(－2)＝0，则f(2－3x)>0的解集为(　　)

A．(－∞，0)∪

B.

C.

D．(－∞，0)∪

题型二　函数的奇偶性与周期性

例2 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则(　　)

A．f(16)<f(－13)<f(18)

B．f(18)<f(16)<f(－13)

C．f(16)<f(18)<f(－13)

D．f(－13)<f(16)<f(18)

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思维升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．

跟踪训练2 (2023·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)＝f(x－1)，则f(2 021)＋f(2 022)等于(　　)

A．1  B．0  C．－2 021  D．－1

题型三　函数的奇偶性与对称性

例3 已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是________．(填序号)

①f(x＋2)＝f(x)；

②函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称；

③函数y＝f(x＋1)是偶函数；

④f(2－x)＝f(x－1)．

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思维升华 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．

跟踪训练3 (2022·南阳模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为(　　)

A．－2  B．－1  C．0  D．1

题型四　函数的周期性与对称性

例4 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝f(x－2)，下列说法正确的个数是(　　)

①y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；

②y＝f(x)的图象关于点对称；

③y＝f(x)在[0,6]内至少有5个零点；

④若y＝f(x)在[0,1]上单调递增，则它在[2 021，2 022]上也单调递增．

A．1  B．2  C．3  D．4

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思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

跟踪训练4 已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法错误的是(　　)

A．f(x)的周期为4

B．f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2

D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－