2024年数学高考大一轮复习第九章 §9.2　两条直线的位置关系（附答单独案解析）

§9.2　两条直线的位置关系

考试要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

知识梳理

1．两条直线的位置关系

平面内两条直线的位置关系包括________________________三种情况．

(1)两条直线平行

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.

对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．

(2)两条直线垂直

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔________________________.

2．三种距离公式

(1)两点间的距离公式

①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．

②结论：|P1P2|＝________________________________________________________________.

③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝________________________.

(2)点到直线的距离

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________________.

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝__________________

________________________________________________________________________.

常用结论

1．直线系方程

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

2．五种常用对称关系

(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．

(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．

(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．

(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．

(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)

(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)

(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)

(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)

教材改编题

1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)

A．2  B.  C.  D.

2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于(　　)

A．4  B．－4  C．1  D．－1

3．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________________．

题型一　两条直线的平行与垂直

例1 (1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

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(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)

A．0或－1   B．－1或1

C．－1   D．1

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思维升华 判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况．

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．

跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)

A．相交但不垂直   B．垂直

C．平行   D．重合

(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.

题型二　两直线的交点与距离问题

例2 (1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　)

A．a＝6，d＝   B．a＝－6，d＝

C．a＝－6，d＝   D．a＝6，d＝

(2)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为________________________．

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思维升华 利用距离公式应注意的点

(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.

(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．

跟踪训练2 (1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　)

A．2x－3y＋5＝0   B．2x＋3y－1＝0

C．3x＋2y－2＝0   D．3x＋2y＋1＝0

(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)

A．3  B．4  C．2  D．6

题型三　对称问题

命题点1　点关于点的对称问题

例3 直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)

A．2x－3y＝0   B．3x－2y－2＝0

C．x－y＝0   D．2x－3y－2＝0

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命题点2　点关于直线的对称问题

例4 一条光线从点P(－1,5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2,3)，则反射光线所在直线的方程为(　　)

A．2x－y－1＝0   B．3x－y－3＝0

C．x－2＝0   D．4x－y－5＝0

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命题点3　直线关于直线的对称问题

例5 两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　)

A．3x－2y－4＝0   B．2x＋3y－6＝0

C．2x－3y－4＝0   D．3x－2y－6＝0

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思维升华 对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．

跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；

(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．

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