2024年数学高考大一轮复习第九章 §9.8　直线与圆锥曲线的位置关系（附答单独案解析）

§9.8　直线与圆锥曲线的位置关系

考试要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．

知识梳理

1．直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ________0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ________0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ________0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．

2．弦长公式

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，

则|AB|＝

＝|x1－x2|

＝________________________________

或|AB|＝|y1－y2|

＝________________________________.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　　)

(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　　)

(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　　)

(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　)

教材改编题

1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)

A.  B．－  C．±  D．±

2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)

A．2  B．4  C．8  D．16

3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　)

A.  B.  C.  D.

题型一　直线与圆锥曲线的位置关系

例1 (1)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)

A．相交   B．相切

C．相交或相切   D．相离

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(2)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为________．

听课记录：____________________________________________________________________

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思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．

(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．

跟踪训练1 (1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．

题型二　弦长问题

例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.

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思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．

(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.

(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．

跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．

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题型三　中点弦问题

例3 (2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.

(1)求椭圆C的标准方程；

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(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．

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思维升华 (1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路

①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．

②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．

(2)点差法常用结论

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.

若E的方程为＋＝1(a>b>0)，

则k＝－·；

若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，

则k＝·；

若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.

跟踪训练3 (1)已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　)

A．6x＋y－11＝0   B．6x－y－11＝0

C．x－6y－11＝0   D．x＋6y＋11＝0

(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)

A．(1，－1)   B．(2,0)

C.   D．(1,1)