2024年数学高考大一轮复习第三章 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算（附答单独案解析）

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考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作____________或________．
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝____________________.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________________________．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝____________________；
[f(x)g(x)]′＝____________________；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝____________.
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(4)(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2).( )
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋cs x
B．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)＋cs x
C．f′(x)＝3x＋cs x
D．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)－cs x
2．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
题型一 导数的运算
例1 (1)下列求导运算正确的是________．(填序号)
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln x2)；②(x2ex)′＝2x＋ex；③(tan x)′＝eq \f(1,cs2x)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于( )
A．1 B．－9 C．－6 D．4
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
跟踪训练1 (1)下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,ex)))′＝eq \f(1＋x,ex)
B．(2x2＋3)′＝4x＋3
C．(3x)′＝3xln 3
D．(x2sin x)′＝2xcs x
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)曲线f(x)＝(2x－1)sin x在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为( )
A．e B．1 C.eq \f(1,\r(e)) D.eq \f(1,e)
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命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________．
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思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0
(2)已知曲线f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝______.
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是________．
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)(2022·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝aln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________．
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
(2)(2022·邢台市四校联考)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝________
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝________
f(x)＝sin x
f′(x)＝________
f(x)＝cs x
f′(x)＝________
f(x)＝ax
f′(x)＝________
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝lgax
f′(x)＝________
f(x)＝ln x
f′(x)＝________