2024年数学高考大一轮复习第三章 §3.5　导数的综合应用（附答单独案解析）

§3.5　导数的综合应用

考试要求　导数的综合问题是高考的热点，常考查恒(能)成立、不等式的证明、函数的零点等问题，解题方法灵活，难度较大，一般以压轴题的形式出现．

题型一　导数与恒(能)成立问题

例1 (2023·福州模拟)已知函数f(x)＝ex＋(m＋1)x，(m∈R)．

(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)若存在x∈[1,2]，使得不等式ex＋＋mln x＋m≥f(x)成立，求m的取值范围．

思维升华 恒(能)成立问题的解法

(1)若f(x)在区间D上有最值，则

①恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0；∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0；

②能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0；∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0.

(2)若能分离常数，即将问题转化为a>f(x)(或a<f(x))，则

①恒成立：a>f(x)⇔a>f(x)max；a<f(x)⇔a<f(x)min；

②能成立：a>f(x)⇔a>f(x)min；a<f(x)⇔a<f(x)max.

跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x－2)ex.

(1)求f(x)在[－1,3]上的最值；

(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2对x∈[2，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．

题型二　利用导数证明不等式

例2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

思维升华 利用导数证明不等式的解题策略

(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究最值即可得证．

(2)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．

(3)对于函数中含有ex和ln x与其他代数式结合的问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：①ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．②ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．

跟踪训练2 (2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明f(x)－＋2e≤0.

题型三　导数与函数的零点问题

例3 (12分)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.

(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；[切入点：f′(x)＝0]

(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．[关键点：求出f′(x)后对参数a进行分类讨论]

思维升华 函数的零点问题有两种常见方法，一是分离参数法，作出函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数；二是利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定参数的范围或零点的个数．

跟踪训练3 已知函数f(x)＝ln x－(2k＋1)x(k∈R)．

(1)当k＝－时，求证：f(x)<0；

(2)若f(x)有两个零点，求k的取值范围．