2024年数学高考大一轮复习第三章 培优课 §3.4　函数中的构造问题（附答单独案解析）

§3.4　函数中的构造问题

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．

题型一　导数型构造函数

命题点1　利用f(x)与x构造

例1 (2023·济宁模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，>0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　)

A．(－2,0)∪(0,2)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－2,0)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(0,2)

听课记录：______________________________________________________________________

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思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)．

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练1 (2023·苏州模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c   B．c>b>a

C．a>c>b   D．c>a>b

命题点2　利用f(x)与ex构造

例2 (2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则(　　)

A．f(2 022)<ef(2 023)

B．ef(2 022)<f(2 023)

C．ef(2 022)＝f(2 023)

D．ef(2 022)>f(2 023)

听课记录：______________________________________________________________________

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思维升华 (1)出现f′(x)＋f(x)形式，构造函数F(x)＝exf(x)．

(2)出现f′(x)－f(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练2 (2023·苏州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．

命题点3　利用f(x)与sin x，cos x构造

例3 已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)

A．f(0)>f    B.f >f 

C.f >f    D．f(0)>2f 

听课记录：______________________________________________________________________

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思维升华 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)＝f(x)sin x，

F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；

F(x)＝，

F′(x)＝；

F(x)＝f(x)cos x，

F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；

F(x)＝，

F′(x)＝.

跟踪训练3 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为________．(用“<”连接)

题型二　同构法构造函数

例4 (1)设m>0，n>0，若ln m－en－1＝ln n－em，其中e是自然对数的底数，则(　　)

A．m>n   B．m<n

C．m≤n   D．m≥n

(2)(2022·南京检测)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　)

A．ab>e   B．b>ea

C．ab<e   D．b<ea

听课记录：______________________________________________________________________

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思维升华 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数．

跟踪训练4 (1)(2023·连云港模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　)

A．sin α>sin β   B．cos α>cos β

C．cos α>sin β   D．sin α>cos β

(2)(2023·福州模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围为______．