2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.2　同角三角函数的基本关系式及诱导公式（附答单独案解析）

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§4.2　同角三角函数的基本关系式及诱导公式考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α .2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________________.(2)商数关系：________________________2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α     余弦cos α     正切tan α  －tan α  口诀奇变偶不变，符号看象限 常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)  教材改编题1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)A．－   .C．－2    ．22．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　)A．－  B．－  C.  D．23．化简·cos(2π－α)的结果为______．题型一　同角三角函数基本关系例1 (1)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，给出下列结论：①θ∈；②cos θ＝－；③tan θ＝－；④sin θ－cos θ＝.则结论正确的有(　　)A．①②   B．①③④C．①④   D．②③听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________.听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)已知tan α＝2，则＝______；sin2α＋cos2α＝________.听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　)A．－  B．－  C.  D.(2)若θ为△ABC的一个内角，且sin θ·cos θ＝－，则sin θ－cos θ等于(　　)A．±  B.  C．－  D. 题型二　诱导公式例2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)A．sin(3π－x)＝－sin xB．sin ＝cos C．tan(x－π)＝－tan xD．cos(－x)＝－cos x听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为________．听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．跟踪训练2 (1)若＝，则tan α等于(　　)A.  B．－  C．－  D.(2)已知cos＝，则sin的值为(　　)A.   B．－C.   D．－.题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3 (1)(2023·长沙模拟)已知sin＝，且－α为第二象限角，则sin＋sin＝________.(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，且<α<π，则sin α－cos α等于(　　)A.   B．－C.   D．－听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3 (1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α等于(　　)A.  B.  C.  D．2(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝________，sin＝________.