2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.1　函数的概念及其表示（附答单独案解析）

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考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
设A，B是________________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有________________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：__________、__________和________．
(2)如果两个函数的________________相同，并且________________完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有__________、图象法和________．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数相等．( )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( )
(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x<0))的定义域为R.( )
教材改编题
1．下列所给图象是函数图象的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
2．下列各组函数相等的是( )
A．y＝x－1与y＝eq \f(x2－1,x＋1)
B．y＝x－1与y＝－eq \f(1,x)
C．y＝2eq \r(x2)与y＝2x
D．y＝eq \f(2,x－1)与v＝eq \f(2,t－1)
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x，x>0，,ex，x≤0，))则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))等于( )
A．3 B．－3
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4))的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
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(2)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S＝f(x)的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(0，a)
C．[0，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))
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思维升华 (1)求函数定义域，即求使解析式有意义的自变量x的取值集合；(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可；(4)注意不要轻易对解析式化简变形，否则易出现定义域错误．
跟踪训练1函数f(x)＝eq \f(1,lnx－1)＋eq \r(3－x)的定义域为( )
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
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思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则f(x)＝________.
题型三 分段函数
例3 (1)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg22－x，x≤0，,fx－4，x>0，))则f(10)等于( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．2
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(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－3x＋2，x<－1，,2x－3，x≥－1，))若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
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思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs πx，x≤1，,fx－1＋1，x>1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．1
(2)(2022·芜湖模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x，x≥0，,2x，x<0，))若f(a)＋f(－a)>0，则实数a的取值范围为________________．