2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.9　解三角形（附答单独案解析）

§4.9　解三角形

考试要求　1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题.2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题．

题型一　解三角形中角平分线、中线、高线的问题

例1 在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2.

(1)若D是BC的中点，求AD的长度；

(2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度．

思维升华 在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝(b2＋c2＋2bccos A)；若AD平分∠BAC，则S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，＝.

跟踪训练1 如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，c＝6，sin 2C＝sin B，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．求

(1)cos C及线段BC的长；

(2)△ADE的面积．

题型二　三角形中的存在性问题

例2 (12分)(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.

(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；[切入点：边角互化]

(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[关键点：cos C<0且满足三角形中三边关系]

思维升华 (1)先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么．

(2)将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质．

(3)观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件．

跟踪训练2 (2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

题型三　与平面几何有关的问题

例3 (2023·自贡模拟)如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为.

(1)求AC；

(2)求∠ACD.

思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．

跟踪训练3 (2023·西安模拟)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，线段AE交BC于点D，BD＝1.

(1)求sin∠ADB；

(2)若AD＝3DE，求BE的长．