湖南省长沙市一中雨花新华都学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年湖南省长沙一中新华都学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）﹣2023的绝对值是（　　）

A．﹣2023 B． C． D．2023

2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．6a﹣5a＝1 B．a+2a2＝3a 

C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b

4．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

5．（3分）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．2，2 B．2，2.5 C．2，3 D．3，3

6．（3分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（　　）

A．20° B．30° C．40° D．60°

7．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x+1）2+7的图象，下列说法不正确的是（　　）

A．图象的开口向下 

B．图象的顶点坐标为（﹣1，7） 

C．图象的对称轴为直线x＝1 

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）

A．30° B．90° C．60° D．150°

9．（3分）若方程x2+px+3＝0的一个根是﹣3，则它的另一个根是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

10．（3分）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 　      　．

12．（3分）分解因式：m3﹣16m＝　              　．

13．（3分）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为8m，则A，B间的距离为 　      　．

14．（3分）设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝　   　．

15．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是　   　．

16．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是 　       　．

三、解答题（本大题共7个小题，第17、18、19每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题题9分，第24、25题每小题6分，共72分。解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程）

17．（6分）计算：．

18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．

19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，点C（4，﹣1）．

（1）把△ABC向上平移5个单位长度后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

20．（8分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：

（1）y是x的一次函数？

（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．

21．（8分）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．t＜1，B.1≤t＜2，C.2≤t＜3，D.3≤t＜4，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）在这次抽样调查中，共调查了 　      　名学生．

（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数．

（3）若该校有学生1000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数．

（4）根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并提出一条合理化的建议．

22．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？

23．（9分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠AOD＝120°，DE＝3，求菱形OCED的面积．

24．（10分）约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线y＝x对称，则把该函数称为“对称函数”，其图象上关于直线y＝x对称的两点叫做一对“对称点”．根据该约定，完成下列各题：

（1）在下列关于x的函数中，是“对称函数”的，请在相应题目后面的横线中打“√”，不是“对称函数”的打“×”．

①y＝2x　   　；

②y＝（x﹣1）2　   　．

（2）关于x的函数y＝kx﹣2k+2（k是常数）是“对称函数”吗？如果是，写出距离为的一对“对称点”坐标；如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“对称函数”y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的一对“对称点”，A、C分别位于x轴、y轴上，求同时满足下列两个条件的“对称函数”的解析式：

①该“对称函数”截x轴所得的线段长AB为2；

②该“对称函数”截直线y＝x所得的线段长MN为．

25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．

（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；

（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．

2023-2024学年湖南省长沙一中新华都学校九年级（上）第一次月考数学试卷（参考答案）

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）﹣2023的绝对值是（　　）

A．﹣2023 B． C． D．2023

【答案】D

【解答】解：|﹣2023|＝2023，

故选：D．

【点评】本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．6a﹣5a＝1 B．a+2a2＝3a 

C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b

【答案】C

【解答】解：A．6a﹣5a＝a，即A项不合题意，

B．a和2a2不是同类项不能合并，即B项不合题意，

C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b，即C项符合题意，

D．2（a+b）＝2a+2b，即D项不合题意，

故选：C．

【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．

4．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【答案】C

【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°，

∴∠3＝35°．

∵∠2+∠3＝90°，

∴∠2＝55°．

故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

5．（3分）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．2，2 B．2，2.5 C．2，3 D．3，3

【答案】C

【解答】解：这组数据2，2，2，3，3，4，5中2出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数为2，

中位数为3．

故选：C．

【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

6．（3分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（　　）

A．20° B．30° C．40° D．60°

【答案】B

【解答】解：∵，

∴∠ACB∠AOB，

∵∠AOB＝60°，

∴∠ACB＝30°，

故选：B．

【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x+1）2+7的图象，下列说法不正确的是（　　）

A．图象的开口向下 

B．图象的顶点坐标为（﹣1，7） 

C．图象的对称轴为直线x＝1 

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

【答案】C

【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+1）2+7，

∴a＝﹣3＜0，函数的图象开口向下，故选项A正确；

顶点坐标是（﹣1，7），故选项B正确；

对称轴是直线x＝﹣1，故选项C不正确；

当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项D正确；

故选：C．

【点评】本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）

A．30° B．90° C．60° D．150°

【答案】C

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴∠A＝60°，

∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，

∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，

∴△ACA′为等边三角形，

∴∠ACA′＝60°，

即旋转角度为60°．

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形．

9．（3分）若方程x2+px+3＝0的一个根是﹣3，则它的另一个根是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解答】解：

设方程的另一根为a，

由根与系数的关系可得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴方程的另一根为﹣1，

故选：A．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．

10．（3分）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；

将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；

用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；

所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．

故选：A．

【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．

二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 　x≠3　．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，

解得x≠3．

故答案为：x≠3．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

12．（3分）分解因式：m3﹣16m＝　m（m+4）（m﹣4）　．

【答案】m（m+4）（m﹣4）．

【解答】解：m3﹣16m

＝m（m2﹣16）

＝m（m+4）（m﹣4）．

故答案为：m（m+4）（m﹣4）．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

13．（3分）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为8m，则A，B间的距离为 　16m　．

【答案】16m．

【解答】解：∵点D，E是AC，BC的中点，DE＝8m，

∴AB＝2DE＝16（m），

故答案为：16m．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

14．（3分）设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝　3　．

【答案】3．

【解答】解：∵x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，

∴x1+x2＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．

15．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是　6　．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，

∴BC＝ACAB16＝8，

在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC6，

故答案为：6．

【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．

16．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是 　①②③④　．

【答案】①②③④．

【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

∵与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，

∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，即1，

∴b＝﹣2a，

∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，

∴a+2a+c＞0，

即3a+c＞0，故②正确；

∵抛物线顶点坐标为（1，n），

∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝n有唯一一个交点，

即方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，

∴b2＝4a（c﹣n），故③正确；

∵抛物线的开口向下，

∴y最大＝n，

∴直线y＝n+1与抛物线没交点，

∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没实数根，故④正确；

故答案为：①②③④．

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出a，由对称轴得出b，抛物线与y轴的交点判断c，抛物线与x轴交点的个数确定b2﹣4ac．

三、解答题（本大题共7个小题，第17、18、19每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题题9分，第24、25题每小题6分，共72分。解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程）

17．（6分）计算：．

【答案】．

【解答】解：原式|﹣3|+（π﹣2）0+2﹣2

＝2﹣3+1

．

【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．

18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．

【答案】3x﹣6，﹣5．

【解答】解：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1）

＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣2x2+2x+3x﹣3

＝3x﹣6，

当x时，

原式＝36

＝﹣5．

【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，掌握整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，点C（4，﹣1）．

（1）把△ABC向上平移5个单位长度后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

【答案】（1）见解答，C1的坐标为（4，4）；

（2）见解答，C2的坐标为（﹣4，1）．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；C1的坐标为（4，4）；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；C2的坐标为（﹣4，1）．

【点评】本题主要考查了利用平移变换和旋转变换进行作图，解题时注意：运用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

20．（8分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：

（1）y是x的一次函数？

（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得

，

解得m，

当m时，y是x的一次函数；

（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得

，

解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），

当m＝2时，y是x的二次函数，

当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，

解得x，

故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．

【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．

21．（8分）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．t＜1，B.1≤t＜2，C.2≤t＜3，D.3≤t＜4，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）在这次抽样调查中，共调查了 　120　名学生．

（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数．

（3）若该校有学生1000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数．

（4）根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并提出一条合理化的建议．

【答案】（1）120；

（2）144°，补全条形统计图详见解答；

（3）350；

（4）需要加强学生在家体育锻炼，努力提高身体素质．

【解答】解：（1）36÷30%＝120（名），

故答案为：120；

（2）样本中“C组”的人数：120﹣6﹣36﹣30＝48（名），

扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为：360°144°，

补全条形统计图如图：

（3）1000350（人），

答：该校1000名学生中一周在家运动时长不足2小时的人数大约有350人；

（4）需要加强学生在家体育锻炼，努力提高身体素质．

【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率是正确解答的前提．

22．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，

由题意可得：，

解得，

答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；

（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，

∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，

∴，

解得30≤x≤33，

∵x为整数，

∴x的值可为30，31，32，33，

∴共有四种购买方案，

方案一：采购篮球30个，采购足球20个；

方案二：采购篮球31个，采购足球19个；

方案三：采购篮球32个，采购足球18个；

方案四：采购篮球33个，采购足球17个．

【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．

23．（9分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠AOD＝120°，DE＝3，求菱形OCED的面积．

【答案】（1）证明见解析；

（2）．

【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵O是矩形ABCD的对角线的交点，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OD＝OC，

∴平行四边形OCED是菱形；

（2）解：由（1）得：OD＝OC，四边形OCED是菱形，

∴OD＝DE＝3，

∵∠AOD＝120°，

∴∠COD＝60°，

∴△OCD是等边三角形，

∴CD＝OD＝OC＝3，

∴AC＝2OC＝6，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴AD3，

∴S菱形OCED＝2S△OCD＝S△ADCAD×CD33．

【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形OCED为菱形是解题的关键．

24．（10分）约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线y＝x对称，则把该函数称为“对称函数”，其图象上关于直线y＝x对称的两点叫做一对“对称点”．根据该约定，完成下列各题：

（1）在下列关于x的函数中，是“对称函数”的，请在相应题目后面的横线中打“√”，不是“对称函数”的打“×”．

①y＝2x　×　；

②y＝（x﹣1）2　√　．

（2）关于x的函数y＝kx﹣2k+2（k是常数）是“对称函数”吗？如果是，写出距离为的一对“对称点”坐标；如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“对称函数”y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的一对“对称点”，A、C分别位于x轴、y轴上，求同时满足下列两个条件的“对称函数”的解析式：

①该“对称函数”截x轴所得的线段长AB为2；

②该“对称函数”截直线y＝x所得的线段长MN为．

【答案】（1）①×，②√；（2）一对Q点的坐标分别为（1，3）与（3，1）；（3）y＝x2﹣4x+3或yx2x．

【解答】解：（1）①∵y＝2x不是轴对称图形，故不是“Q函数”；

②∵（0，1），（1，0）关于y＝x对称满足定义，是“Q函数”．

故答案为：①×，②√；

（2）∵y＝kx﹣2k+2＝k（x﹣2）+2，

当x＝2时，y＝2，则直线过定点（2，2），

根据定义，其图象关于直线y＝x对称，

如图，设直线y＝kx﹣2k+2与坐标轴分别交于点A，B，根据定义，A，B关于y＝x对称，

∴OA＝OB，

由y＝kx﹣2k+2，令x＝0，则y＝2﹣2k，令y＝0，则x，

∴2﹣2k，

解得k＝1或k＝﹣1，

∴k＝1或k＝﹣1时，y＝kx﹣2k+2是“Q函数”，

当k＝1时，y＝x，

当k＝﹣1时，y＝﹣x+4，

以P为圆心，为半径作圆，则圆与y＝﹣x+4，y＝x的交点的距离为2，

如图，设C，D为OP与直线y＝﹣x+4的交点，则C，D即为所求的点，

设C（m，﹣m+4），则PC，

即（m﹣2）2+（﹣m+4﹣2）2＝2，

解得m1＝1，m2＝3，

∴一对Q点的坐标分别为（1，3）与（3，1）；

（3）∵该Q函数截x轴所得的线段长AB为2，

令ax2+bx+c＝0，设两根分别为x1，x2．

则|x1﹣x2|＝2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，

即4①，

该“Q函数”截直线y＝x所得的线段长MN为，

过点M，N分别作坐标轴的垂线交于点D，如图，

∵M，N在y＝x上，则△MND是等腰直角三角形，

则DNMN，

联立，

得ax2+（b﹣1）x+c＝0，设两根分别为x3，x4，

NC＝|x3﹣x4|，

∴（x3+x4）2﹣4x3x4＝13，

即13②，

根据定义可知一对“Q点“A、C分别位于x轴、y轴上，

则OA＝OC，

由y＝ax2+bx+c，

令y＝0，得ax2+bx+c＝0，

解得：x或x，

令x＝0，则y＝c，

则c或c，

即（2ac+b）2＝b2﹣4ac③，

联立①②③并整理得，，

解得：或或，

根据题意a，c≠0，a＞0，

∴或．

∴同时满足两个条件的“Q函数”的解析式为y＝x2﹣4x+3或yx2x．

【点评】本题考查函数综合运用，主要考查了新定义，待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，理解新定义是解题关键．

25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．

（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；

（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；

（2）点P的坐标为（，）；

（3）2h213．

【解答】解：（1）∵OH＝1，

∴H（0，1），

把H（0，1）代入y＝x+b，得b＝1，

∴y＝x+1，

令y＝0，得x+1＝0，

解得：x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣1）2+a，得0＝（﹣1﹣1）2+a，

解得：a＝﹣4，

∴y＝（x﹣1）2﹣4，

即该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）在y＝x+b中，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝﹣b，

∴A（﹣b，0），H（0，b），

∴OA＝OH＝b，

∴△AOH是等腰直角三角形，

∴∠HAO＝45°，AHb，

如图1，设P（x，x+b），过点P作PK⊥AB于点K，

则PK＝x+b，∠AKP＝∠ALD＝90°，

∴△APK和△ADL均为等腰直角三角形，

∴APPK（x+b），ADAL（xD﹣xA），

由y＝（x﹣1）2+a和y＝x+b联立，

得：（x﹣1）2+a＝x+b，

整理得：x2﹣3x+a﹣b+1＝0，

∴xA+xD＝3，

∴xD＝3﹣xA＝3+b，

∴xD﹣xA＝3+b﹣（﹣b）＝3+2b，

即AD（3+2b），

∵，

∴，

∴x，x+b，

∴点P的坐标为（，）；

（3）由题意得：y＝x2﹣2x﹣3，C（0，﹣3），

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵⊙Q经过A、B、C三点，

∴点Q在线段AB的垂直平分线上，即点Q的横坐标为1，

∵点Q也在线段BC的垂直平分线上，OB＝OC＝3，

∴点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，

∴Q（1，﹣1），

如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，连接BQ，

则QH＝1，BH＝3﹣1＝2，

∴BQ，

∴FI＝2BQ＝2，

∵EI＝GI+FI，EI＝EF+FI，

∴EF＝GI，

∴EF+FG＝FG+GI，即EG＝FI＝2，

∴EG2＝20，

∵直线y＝hx+q经过点Q（1，﹣1），

∴﹣1＝h+q，

∴q＝﹣h﹣1，

∴y＝hx﹣h﹣1，与y＝x2﹣2x﹣3联立，

得x2﹣2x﹣3＝hx﹣h﹣1，

整理得：x2﹣（h+2）x+h﹣2＝0，

∴xE+xG＝h+2，xE•xG＝h﹣2，

∴yE＝h•xE﹣h﹣1，yG＝h•xG﹣h﹣1，

∵EG2＝（xE﹣xG）2+（yE﹣yG）2

＝（1+h2）（xE﹣xG）2

＝（1+h2）[（xE+xG）2﹣4xE•xG]

＝（1+h2）[（h+2）2﹣4（h﹣2）]

＝（h2+1）（h2+12），

∴（h2+1）（h2+12）＝20，

∴h2，

∴2h213．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与抛物线交点，一元二次方程根与系数关系，勾股定理，等腰直角三角形性质，圆的性质等，本题综合性较强，涉及知识点较多，难度较大，对学生运算能力要求较高．