2024年数学高考大一轮复习第六章 §6.1　数列的概念

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考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
2.数列的分类
常用结论
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2．在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念．( )
(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( )
教材改编题
1．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是( )
A．21 B．33 C．152 D．153
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是( )
A．2 B．4 C．5 D．6
3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
例1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于( )
A．128 B．256
C．512 D．1 024
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(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________.
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思维升华 Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
跟踪训练1 (1)已知正项数列{an}中，eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝eq \f(nn＋1,2)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝eq \f(n,2) D．an＝eq \f(n2,2)
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋\f(1,a3)＋…＋\f(1,a2 023)))等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
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命题点2 累乘法
例3 在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
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思维升华 (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
跟踪训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，则an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
(2)已知数列a1，eq \f(a2,a1)，…，eq \f(an,an－1)，…是首项为1，公比为2的等比数列，则lg2an＝________.
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
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命题点2 数列的周期性
例5 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，则a2 024的值为( )
A．2 B．－3
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
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命题点3 数列的最值
例6 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2n－15)，其最大项和最小项的值分别为( )
A．1，－eq \f(1,7) B．0，－eq \f(1,7)
C.eq \f(1,7)，－eq \f(1,7) D．1，－eq \f(1,11)
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思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是( )
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11
(2)已知数列{an}的通项an＝eq \f(2n－19,2n－21)，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________．概念
含义
数列
按照______________排列的一列数
数列的项
数列中的________
通项公式
如果数列{an}的第n项an与______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数________
无穷数列
项数________
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1________an
其中n∈N*
递减数列
an＋1________an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列