2024年数学高考大一轮复习第六章 §6.2　等差数列

§6.2　等差数列

考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母______表示，定义表达式为________________________．

(2)等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，且有A＝________.

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝________________.

(2)前n项和公式：Sn＝__________________或Sn＝________________________.

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋____________(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.

(6)为等差数列．

常用结论

1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2．在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．

3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．

4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)

(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　)

(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．(　　)

教材改编题

1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)

A．12  B．8  C．20  D．16

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________.

题型一　等差数列基本量的运算

例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，a＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于(　　)

A．10  B．11  C．12  D．13

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(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699块   B．3 474块

C．3 402块   D．3 339块

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思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．

(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.

跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　)

A．一尺五寸   B．二尺五寸

C．三尺五寸   D．四尺五寸

(2)数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 024＝________.

题型二　等差数列的判定与证明

例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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思维升华 判断数列{an}是等差数列的常用方法

(1)定义法．

(2)等差中项法．

(3)通项公式法．

(4)前n项和公式法．

跟踪训练2 已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.

(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；

(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．

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题型三　等差数列的性质

命题点1　等差数列项的性质

例3 (1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且log2(2a1·2a2·…·2a11)＝22，则S13等于(　　)

A．40  B．65  C．80  D．40＋log25

(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________．

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思维升华 等差数列项的性质的关注点

(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．

(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合．

跟踪训练3 (1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足＝－2，则下列结论一定成立的是(　　)

A.＝－1   B.＝－1

C.＝－1   D.＝－1

命题点2　等差数列前n项和的性质

例4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

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(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　)

A．30   B．29

C．28   D．27

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思维升华 等差数列前n项和的常用的性质是：

在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.

跟踪训练4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于(　　)

A．6  B．10  C．20  D．40

(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于(　　)

A．2 023   B．－2 023

C．4 046   D．－4 046