2024年数学高考大一轮复习第六章 §6.3　等比数列

§6.3　等比数列

考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．

知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于______________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0).

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝________.

2．等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝____________.

(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.

(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝________；当q≠1时，Sn＝______________＝____________.

3．等比数列的性质

(1)若m＋n＝p＋q，则________________，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则________________，其中m，n，w∈N*.

(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为________(k，m∈N*)．

(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．

(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，____________，____________仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)

(5)若或则等比数列{an}递________；

若或则等比数列{an}递________．

常用结论

1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.

2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．

3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．

(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)

(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列．(　　)

(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(　　)

(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)

教材改编题

1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)

A．31   B．32

C．63   D．64

3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．

题型一　等比数列基本量的运算

例1 (1) (2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　)

A．14  B．12  C．6  D．3

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(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则等于(　　)

A.   B.

C.   D．4

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思维升华 等比数列基本量的运算的解题策略

(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．

(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．

跟踪训练1 (1)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是(　　)

A．插入的第8个数为

B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍

C．M>3

D．N<7

题型二　等比数列的判定与证明

例2 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.

注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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思维升华 等比数列的三种常用判定方法

(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．

(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．

跟踪训练2 在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.

(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；

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(2)求数列{an}的前n项和Sn.

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题型三　等比数列的性质

例3 (1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　)

A.  B．3  C．±  D．±3

(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为______．

思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．

跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于(　　)

A．40  B．36  C．54  D．81

(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

(3)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2  B．4  C．8  D．16