2024年数学高考大一轮复习第三章 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算

这是一份2024年数学高考大一轮复习第三章 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算，共5页。试卷主要包含了导数运算法则等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作____________或________．
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝____________________.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________________________．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝____________________；
[f(x)g(x)]′＝____________________；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝____________.
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(4)(cs 2x)′＝－2sin 2x.( )
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋2cs 2x
B．f′(x)＝3x＋2cs 2x
C．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)＋cs 2x
D．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)－2cs 2x
2．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
题型一 导数的运算
例1 (1)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sin x,x2)))′＝eq \f(2xcs x＋4sin x,x3)
D．(2x＋cs x)′＝2xln 2＋sin x
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(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于( )
A．1 B．－9 C．－6 D．4
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思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (1)下列求导运算错误的是( )
A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cs(2x＋3)
B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1
C．若f(x)＝eq \f(x,ex)，则f′(x)＝eq \f(1－x,ex)
D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为( )
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
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(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，________________.
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命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝________.
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(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________．
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思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝eq \f(x2＋x－2,ex)在(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2
(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝eq \f(acs x,x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，－\f(a,π)))处的切线方程为y＝eq \f(2,π2)x＋b，则a的值是( )
A.eq \f(4,π) B．－2 C．－eq \f(4,π) D．2
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于( )
A．0 B．1 C．e D．－e
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(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是( )
A．(0,2e] B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)e－3，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)e－3)) D．[2e，＋∞)
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思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于( )
A．－3 B．1 C．3 D．5
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝________
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝________
f(x)＝sin x
f′(x)＝________
f(x)＝cs x
f′(x)＝________
f(x)＝ax
f′(x)＝________
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝lgax
f′(x)＝________
f(x)＝ln x
f′(x)＝________