2024年数学高考大一轮复习第三章 培优课 §3.4　函数中的构造问题

§3.4　函数中的构造问题

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．

题型一　导数型构造函数

命题点1　利用f(x)与x构造

例1 (2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c   B．c>b>a

C．a>c>b   D．c>a>b

听课记录：___________________________________________________________________

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思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练1 (2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　)

A．(－∞，1)   B．(－1,1)

C．(－∞，0)∪(0,1)   D．(－1,0)∪(0,1)

命题点2　利用f(x)与ex构造

例2 (2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为(　　)

A．(－∞，0)   B．(0，＋∞)

C.   D．(－∞，1)

听课记录：___________________________________________________________________

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思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；

(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练2 (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．

命题点3　利用f(x)与sin x，cos x构造

例3 已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0<x<时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x<0成立，则关于x的不等式f(x)<2f cos x的解集为(　　)

A.∪   B.

C.   D.

听课记录：___________________________________________________________________

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思维升华 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)＝f(x)sin x，

F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；

F(x)＝，

F′(x)＝；

F(x)＝f(x)cos x，

F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；

F(x)＝，

F′(x)＝.

跟踪训练3 奇函数f(x)的定义域为(－π，0)∪(0，π)，其导函数是f′(x)．当0<x<π时，有f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<f sin x的解集为(　　)

A.

B.∪

C.∪

D.∪

题型二　同构法构造函数

例4 (1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)

A．a>2b   B．a<2b

C．a>b2   D．a<b2

听课记录：___________________________________________________________________

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(2)(2023·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为________．

听课记录：___________________________________________________________________

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思维升华 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数．

跟踪训练4 (1)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　)

A．ab>e  B．b>ea  C．ab<e  D．b<ea

(2)已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>ex的解集为(　　)

A．(0,1)   B.

C．(1，e)   D．(1，＋∞)