2024年数学高考大一轮复习第十二章 §12.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差

§12.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差

考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．

知识梳理

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以________________的随机变量称为离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的____________．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从________________．

其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．

3．超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．其分布列为

4.离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

(1)均值

称E(X)＝________________________________________________为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的__________．

(2)方差

称D(X)＝______________________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根________________为随机变量X的标准差．

5．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝________________.

(2)D(aX＋b)＝____________.(a，b为常数)

常用结论

1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．

2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．

3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.

4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，

D(X)＝.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，

则它服从两点分布．(　　)

(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(　　)

教材改编题

1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　)

A．甲赢三局

B．甲赢一局输两局

C．甲、乙平局二次

D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

2．已知X的分布列为

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)

A.  B．4  C．－1  D．1

3．若离散型随机变量X的分布列为

则X的方差D(X)＝________.

题型一　分布列的性质

例1 (1)若随机变量X的分布列为

则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]   B．[1,2]

C．(1,2]   D．(1,2)

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

(2)(2022·银川模拟)若随机变量X的分布列为

则P(|X|＝1)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

跟踪训练1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q的值为(　　)

A．1   B.±

C.－   D.＋

(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________； P(X≥2)＝________.

题型二　离散型随机变量的均值、方差

例2 (1)已知随机变量X的分布列为

下列选项不正确的是(　　)

A．m＝   B．E(X)＝

C．E(2X－1)＝   D．D(X)＝

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

(2)(2023·成都模拟)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则下列命题中正确的是(　　)

①E(X)＝E(Y)；②E(X)≠E(Y)；

③D(X)＝D(Y)；④D(X)≠D(Y)．

A．①③   B．②④

C．①④   D．②③

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤

(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．

(2)求ξ取每个值的概率．

(3)写出ξ的分布列．

(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．

跟踪训练2 (1)(2022·怀化模拟)已知ξ的分布列如表所示．

其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正确的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.

题型三　超几何分布

例3 2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；

(2)从得分在[60,90]的学生中利用分层抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值．

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．

跟踪训练3 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．

某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：

(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；

(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________