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2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.3　用样本估计总体

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这是一份2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.3　用样本估计总体，共6页。试卷主要包含了会用统计图表对总体进行估计，8，则三年后，下列判断错误的是等内容，欢迎下载使用。

§11.3　用样本估计总体

考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．

知识梳理

1．平均数、中位数和众数

(1)平均数：＝________________________.

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的________________(当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数________的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

2．方差和标准差

(1)方差：s2＝____________________________________________________________________.

(2)标准差：s＝___________________________________________________________________.

常用结论

1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a.

2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．

3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　)

(2)方差与标准差具有相同的单位．(　　)

(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　)

(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值．(　　)

教材改编题

1．若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1,2x2，…，2x9的方差为(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

2．已知一组数据a,0,1,2,3，若该组数据的平均数为1，则a等于(　　)

A．0 B．2 C．1 D．－1

3．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则这10名旗手身高的中位数为________ cm.

题型一　样本的数字特征

例1 (1)某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.记这组数据的中位数为a，平均数为b，众数为c，则(　　)

A．a>b>c B．b>c>a

C．c>a>b D．c>b>a

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)

A.＝4，s2<2 B.＝4，s2＝2

C.>4，s2<2 D.>4，s2>2

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

思维升华平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其离散程度．

跟踪训练1 (1)已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是(　　)

A．这五位同学年龄的平均数变为19

B．这五位同学年龄的方差变为3.8

C．这五位同学年龄的众数变为19

D．这五位同学年龄的中位数变为19

(2)2022年6月6日是第27个“全国爱眼日”，为普及科学用眼知识，提高群众健康水平，预防眼疾，某区残联在残疾人综合服务中心开展“全国爱眼日”有奖答题竞赛活动．已知5位评委老师按百分制(只打整数分)分别给某参赛小队评分，根据下列数据可以判断出一定有评委打满分的是(　　)

A．平均数为98，中位数为98

B．中位数为96，众数为99

C．中位数为97，极差为9

D．平均数为98，极差为6

题型二　总体集中趋势的估计

例2 为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的成绩都不低于60分，将这50名学生的成绩(单位：分)进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数；

(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动成绩的平均数；若对成绩不低于平均数的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．

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思维升华频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．

跟踪训练2 (2022·哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位：cm)，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值及众数、中位数；

(2)若树苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中用分层抽样的方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

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题型三　总体离散程度的估计

例3 (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下．

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s.

(1)求，，s，s；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．

________________________________________________________________________

思维升华总体离散程度的估计

标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．

跟踪训练3 (2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲	82	81	79	78	95	88	93	84
乙	92	95	80	75	83	80	90	85

(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；

(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．

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