2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.4　回归分析

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§11.4　回归分析考试要求　1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．知识梳理相关关系与回归方程(1)相关关系的分类①正相关在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为正相关．②负相关在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(2)线性相关关系如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做________________．(3)回归方程①最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的________________________________的方法叫做最小二乘法．②回归方程方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．(4)回归分析①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．②样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中________________称为样本点的中心．③相关系数当r>0时，表明两个变量________________；当r<0时，表明两个变量________________．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性________．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于________时，认为两个变量有很强的线性相关性．常用结论1．回归直线过样本点的中心(，)．2．求时，常用公式＝.3．回归分析是基于样本观测数据进行估计或推断的，得出的结论可能犯错误．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系是一种非确定性关系．(　　)(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　　)(3)回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　)(4)相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强．(　　)教材改编题1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．则下列操作顺序正确的是(　　)A．①②④③   B．③②④①C．②③①④   D．②④③①2．对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　)A．－0.82   B．0.78C．－0.69   D．0.873．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864 由表中数据得到线性回归方程＝－2x＋，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为(　　)A．68度   B．52度C．12度   D．28度 题型一　数据的相关性例1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：x34567y3.52.41.1－0.2－1.3 根据表格中的数据求得线性回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)A.>0，>0   B.>0，<0C.<0，>0   D.<0，<0听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到线性回归方程＝2x＋2，相关系数为r2.则(　　)A．0<r1<r2<1   B．0<r2<r1<1C．－1<r1<r2<0   D．－1<r2<r1<0听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强．(3)线性回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关．跟踪训练1 (1)某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计数据如表所示：年份201720182019202020212022年利润x12.214.6161820.422.3年广告支出y0.620.740.810.8911.11 根据统计数据，则利润中位数(　　)A．是16，x与y有正相关关系B．是17，x与y有正相关关系C．是17，x与y有负相关关系D．是18，x与y有负相关关系(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为(　　)A．r1>r2   B．r1＝r2C．r1<r2   D．不确定题型二　回归分析命题点1　线性回归模型例2 (2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：利率上升百分点x0.10.20.30.40.5日均存款总额y(亿元)0.20.350.50.650.8 (1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的线性回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？参考公式及数据：①＝，＝－，②iyi＝0.9，＝0.55.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 命题点2　非线性回归模型例3 (2023·保山模拟)某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2013年以来的乡村经济收入y(单位：亿元)进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码x的值1—10分别对应2013年至2022年．(1)若用模型①y＝a＋bx，②y＝a＋b拟合y与x的关系，其相关系数分别为r1＝0.851 9，r2＝0.990 1，试判断哪个模型的相关程度更强？(2)根据(1)中相关程度更强的模型，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并估计该县2026年的乡村经济收入(精确到0.01)．参考数据：ti＝，＝i，≈3.606，≈3.742，≈3.873.(xi－)2(ti－)2(xi－)·(yi－)(ti－)·(yi－)72.652.25126.254.52235.4849.16 参考公式：对于一组数据(t1，y1)，(t2，y2)，…，(tn，yn)，线性回归方程＝t＋中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 求线性回归方程的步骤跟踪训练2 (2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x(单位：份)与收入y(单位：元)之间有如下的对应数据：外卖份数x(份)24568收入y(元)3040605070 (1)在给出的坐标系中画出数据散点图；(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y关于外卖份数x的线性回归方程；(3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．参考数据与公式：＝145，iyi＝1 380，＝＝，＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三　残差分析例4 (1)下列说法中正确的是(　　)①在线性回归方程＝－0.85x＋2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均减少2.3个单位；②在线性回归方程＝－0.85x＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25；③在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；④若两个变量的相关指数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好．A．①③   B．①②④C．①④   D．②③④听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：月份代码x12345碳酸锂价格y(万元/kg)0.50.61m1.5 根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为＝0.28x＋，根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为－0.06，则m＝________.听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 检验回归模型的拟合效果的两种方法(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．跟踪训练3 (1)下列命题是真命题的为(　　)A．回归直线＝x＋一定不过样本点B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量的线性相关程度越弱C．在回归分析中，相关指数R2＝0.80的模型比相关指数R2＝0.98的模型拟合的效果要好D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好(2)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865 其线性回归方程是＝x＋40，则相应于点(9,11)的残差为________．