2024年数学高考大一轮复习第八章 §8.4　直线、平面平行的判定与性质

§8.4　直线、平面平行的判定与性质

考试要求　1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．

知识梳理

1．线面平行的判定定理和性质定理

2.面面平行的判定定理和性质定理

常用结论

1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.

4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(　　)

(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)

(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　　)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．(　　)

教材改编题

1．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

2．已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)

A．若l∥m，l∥β，则m∥β

B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l

C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α

D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l

3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．

题型一　直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．

求证：BE∥平面PAD.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

命题点2　直线与平面平行的性质

例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点)．

②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．

③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．

④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．

跟踪训练1 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：

(1)DF∥平面PBE；

(2)DF∥l.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

题型二　平面与平面平行的判定与性质

例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 (1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理．

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．

(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．

跟踪训练2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．

(1)求证：BC∥GH；

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

题型三　平行关系的综合应用

例4 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 解决面面平行问题的关键点

(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．

(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．

跟踪训练3 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．

(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?

(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________