2024东莞外国语学校高二上学期10月月考试题数学含解析

东莞外国语学校2023-2024高二数学上学期第一次段考

命题人：潘际栋    审题人：吴森林

一、单选题

1．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

2．若直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．0或1

3．已知三点、、，则

A．三点构成等腰三角形 B．三点构成直角三角形

C．三点构成等腰直角三角形 D．三点构不成三角形

4．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，

则  　　

A． B．1 C． D．2

5．如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（      ）

A． B． 

C．  D．

6．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）．

A．                  B． 

C． D．

7．如图，正方体中的棱长为2，分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为 （   ）          

A．                                    B． 

C． D．

8．已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ）

A． B．                      C．  D．

二、多选题

9．若向量，，是空间的一个基底，向量那么可以与，构成空间的一组基底的向量是   

A．  B．  C．  D．

10．过点，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

11．若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）．

A． B． C． D．

12．如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．点P在线段上

C．平面

D．直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为

三、填空题

13．过点且与直线垂直的直线方程是            ．

14．已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．

15．如图，正四棱锥模型中，过点作一个平面分别交棱、、于点、、，若 ，，则

_____________．          

16．材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，直线l的方程为，则l与的交点坐标为            ，与所成角的正弦值为              ．

四、解答题

17．已知，，求：

（1）(－)·(＋)的值；

（2）以，为邻边的平行四边形的面积．

18．（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值．

（2）若，，三点共线，求实数的值．

（3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程．

19．如图，在四面体OABC中，，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．

(1)用，，表示向量；

(2)已知，，

求的大小．

20．已知直线的方程为：．

(1)求证：不论为何值，直线必过定点；

(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．

21．如图四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，，，，E是BC的中点．

求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；

求点D到平面PBG的距离；

若F点是棱PC上一点，且，求的值．

22．(本题12分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作．

(1)若，，求的斜60°坐标；

(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．

①若，求向量的斜坐标；

②若，且，求．

东莞外国语学校2023-2024高二数学上学期第一次段考

参考答案

1．【答案】B【解析】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得，

设直线的倾斜角为，可知，所以．

2．【答案】D【解析】因为直线与直线平行，所以，解得：或，

当时，直线分别为和，满足题意；

当时，直线分别为和，满足题意，

综上：实数的值为或．

3．【答案】B【详解】由空间中两点间的距离公式可得，

，，

，因此，三点构成直角三角形．

4．【答案】B【解析】解：正方体中，点为上底面的中心，

，，．故选：．

5．【答案】B【解析】由条件，知，，．

∴

．

∴，又∵，∴，

∴二面角的大小为．故答案为：．

6．【答案】C【解析】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D．

连接，，，则，在上的投影向量是．

设上底面的半径为r，则，．

故在上的投影向量是．

7． 【答案】D

【解析】如图，建立空间直角坐标系，则

，设球心为，外接球半径为R

，

解得，，，，代入得，

8．【答案】B

【解析】设正方体内切球的球心为，则，

，

为球的直径，，，，

又在正方体表面上移动，当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，，即的取值范围为．故选．

9．【答案】CD【解析】由题意和空间向量的共面定理，

结合，得与、是共面向量，

同理及与、是共面向量．易证得一定不与、共面。
10．【答案】ABC【解析】设所求直线在，轴上的截距分别为，，

当时，过点的直线为即，

当且时，设直线的方程为，则，可得或 ，

此时直线方程为或即或，

综上所述：所求直线的方程为：或或，

11．【答案】ABD

【详解】因为直线，，不能构成三角形，

所以存在，，过与的交点三种情况．

显然，．则直线的斜率分别为，，．

当时，有，即，解得；当时，有，即，解得；

当过与的交点时．先联立，解得，则与的交点为，

代入，得，解得．综上：或或．

12．【答案】BC

【解析】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长，

所以，A错误；

对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，，，且，，所以，，．

因为，所以，所以，即，所以，

所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确；

对于C，，，，，，

由，

因为，，平面，所以平面，C正确；

对于D，，，平面的一个法向量为．

设与平面的夹角为，为锐角，

其正弦值为．

由，得，D错误．

13．【答案】

【解析】由题设知：直线斜率为，故与其垂直的直线的斜率为，

∴过点且与直线垂直的直线方程为．

故该直线方程为．

故答案为：

14． 【答案】【解答】解：设

则，，

，

，则对角线的长为．故答案为．

15．解： 法一：设，则有

法二：如图所示：作法：连接并延长，与的延长线相交于点，

连接并延长，与的延长线相交于点，

连接，与相交于一点，则该点即为点．

理由如下：

因为与是两条相交直线，所以与确定一个平面，

则，，、、，

因为，，所以，

因为，所以，，、、、四点共面．

16．  【答案】       

【解析】（1）因为平面的方程，即，故平面经过点，且法向量；

又直线l的方程为，即，故直线l经过点且方向向量．

则l与的交点坐标为．

（2）设直线与平面所成的角为，则．

故答案为：；．

17．【解答】（1）由，

－，＋

(－)·(＋)=

（2）

故以，为邻边的平行四边形的面积：

18．【解析】(1)由题意可得：，解方程可得：；

(2)由题意可得：，即：，解方程可得：；

(3)设直线的倾斜角为，则，，

由点斜式可得所求直线方程为：，整理为一般式即：．

19． 【解析】（1）连接，因为P是线段MN的中点，所以，  

因为N是棱BC的中点，，即，

所以．

（2）

因为，，

所以，故．

20．【解析】（1）证明：原方程整理得：．

由，可得，不论为何值，直线必过定点．

（2）设直线的方程为．

令令．

．

当且仅当，即时，三角形面积最小．

21．【解析】以点为原点，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，故E．

，所以与所成的余弦值为．

平面的单位法向量因为，

所以点到平面的距离为，

设，则，

因为，所以，所以，又，所以，

故F，所以．

22．【解析】（1）由，，知，，

所以，所以；

（2）设分别为与同方向的单位向量，则，

①

②由题，

因为，所以，

由知

，则