湖南省长沙市实验中学2023-2024学年高二数学上学期第一次阶段性试题（Word版附解析）

长沙市实验中学2023年下学期高二第一次阶段性测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线的一个方向向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

2. =(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，则实数等于（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的数乘运算和向量坐标的相等即可求解.

【详解】因为，

所以=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),

所以，

故选：C.

3. 在下列四个命题中，正确的是（    ）

A. 若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大

B. 过点的直线方程都可以表示为：

C. 经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：

D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，不存在斜率；

当时，倾斜角越大，斜率越大，故A错误；

对B：当直线斜率不存在时，不可以用表示，故B错误；

对C：经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为，

能用方程表示，故C正确，

对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误.

故选：C.

4. 设直线，平面，则下列条件能推出的是（    ）

A. ，且 B. ，且

C. ，且 D. ，且

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A. ，且，由于无法得知是否相交，所以不能得到，

对于B. ，且，则，故B正确，

对于C. ，且，此时可能相交，

对于D. ，且，则可能相交，

故选：B

5. 方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（    ）

A. k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B. k∈(2，+∞)

C. k∈(﹣2，2) D. k∈(0，1]

【答案】D

【解析】

【分析】化x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0为，

由0求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案.

【详解】由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，

若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2.

∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，

而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.

6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则，

所以，

所以，

所以点到直线的距离是.

故选：D.

7. 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设确定各顶点的坐标，代入选项解析式即可判断正误.

【详解】由题意，另外4个顶点为与的交点，

所以，正八边形8个顶点分别为，，

A：显然过，满足；

B：显然过，满足；

C：显然过，，不满足；

D：显然过，满足.

故选：C

8. 已知，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解.

【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则.

设，则有，解得，所以.

设，则，所以，

又，所以点到轴的距离为，

所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和.

过作轴，过点作轴，

显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置.

易得，所以最小值为.

故选：B．

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 如果，，那么直线经过（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】ACD

【解析】

【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.

【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，

因为，，故，

故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，

故选：ACD.

10. （多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ）．

A. 直线的斜率可以等于0

B. 若直线与轴的夹角为30°，则或

C. 直线恒过点

D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或

【答案】BD

【解析】

【分析】讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.

【详解】当时，直线，斜率不存在，

当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；

∵直线与轴的夹角角为30°，

∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，

∴或，∴或，故B选项正确；

直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；

当时，直线，在轴上的截距不存在，

当时，令，得，令，得，

令，得，故D选项正确．

故选：BD．

11. 对于函数，有下列结论，其中正确的是（    ）

A. 最小正周期为 B. 最大值为3

C. 递减区间为 D. 对称中心为

【答案】ABC

【解析】

【分析】将化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中心.

【详解】

.

对A，，A正确；

对B，时，即时，，故B正确；

对C，令,解得，

因此递减区间为，C正确；

对D，令，解得，此时，

故对称中心为，故D错误.

故选：ABC.

12. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ）

A. 若两圆外切，则

B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则

C. 若两圆的公共弦长为，则

D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径.

设圆为圆，圆的圆心为，半径.

.

A选项，若两圆外切，则，A选项正确.

B选项，由两式相减并化简得，

则，

此时，满足两圆相交，B选项正确.

C选项，由两式相减并化简得，

到直线的距离为，

所以，

即，则解得或，C选项错误.

D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，

根据圆的几何性质可知，

所以，D选项错误.

故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，且，则___________.

【答案】##-0.5

【解析】

【分析】利用向量垂直的坐标运算求解.

【详解】向量，，且，

则有，解得.

故答案为：

14. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．

【答案】

【解析】

【分析】由题知、，进而求解方程即可.

【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，

所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，

所以，

所以直线的方程为，即；

方法2：设，，则由，可得，

同理可得，

所以直线的方程为.

故答案为：

15. 若直线过点，则的最小值为________．

【答案】8

【解析】

【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值

【详解】解：因为直线过点，所以，

因为

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为8

故答案：8

【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题

16. 以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下性质：

（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为_________

【答案】

【解析】

【分析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．

【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，

则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，

因为是等腰三角形，，

所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，

令的费马点为，则上，则，

因为是锐角三角形，由性质（1）得，

所以，所以，所以，

，到、、的距离分别为，，

所以的最小值，

即为费马点到点、、的距离之和，则．

故答案为：．

  【点睛】本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区城内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.

【解析】

【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．

【详解】解：（1）∵向量．

由，

可得：，

即，

∵x∈[0，π]

∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，

∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

18. 直线过点，且倾斜角比直线的倾斜角大.

（1）求直线的方程；

（2）若直线与直线平行，且距离为，求直线的方程.

【答案】（1）；   

（2）和.

【解析】

【分析】（1）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则由题意可得，再利用两角和的正切公式可求出，即可得直线的斜率，从而可求出直线的方程；

（2）由题意可设直线的方程为，再利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.

【小问1详解】

设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则题意得，

所以

，

所以直线的方程为，即，

【小问2详解】

由题意可设直线的方程为，

因为直线与直线的距离为，

所以，解得或，

所以直线的方程为和.

19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点E为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）设与的交点为O，连接，则，由平面，可证得平面，则，而由正方形的性质可得，所以由线面垂直的判定可证得结论，

（2）以A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【小问1详解】

证明：设与的交点为O，连接．

因为底面四边形为正方形，

所以．

又点E为的中点，

所以．

因为平面，平面，

所以，

所以,

因为平面，

所以平面，

又平面，

所以．

因为，平面，

所以平面．

【小问2详解】

解：设，则．

以A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，

可得．

由（1）知，平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则，取，可得，所以，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

因，所以，

即平面与平面所成锐二面角的大小为．

20. 已知圆.

（1）求过点且与圆相切的直线方程；

（2）已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．

【答案】（1）或；   

（2）存在，点P的个数为2,理由见解析

【解析】

【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，

（2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，

【小问1详解】

由题意圆C：，圆心，半径，

1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意；

2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即，

则圆心C到直线l的距离，解得，

所以直线l的方程为即

综上，直线l的方程为或；

【小问2详解】

假设圆C上存在点P，设，则C：，

又，

即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆.

因为，

所以圆C：与圆相交，

所以点P的个数为2

21. 在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，

（1）求角C：

（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角；

（2）设的外接圆半径为，利用正弦定理将已知等式化简变形可求得，再利用正弦定理可求得，，然后表示出三角形的面积，利用三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质可求得结果．

【小问1详解】

及正弦定理得，       

∴，

∴，即，∴，

∵，∴，∵，∴．

【小问2详解】

设外接圆的半径为，由，

得，即，

则，∴．       

的面积．

∵，∴，，∴，

∵，，，∴，∴，∴，

∴，∴，即锐角面积的取值范围是．

22. 已知圆心在轴上的圆与直线切于点，圆．

（1）求圆的标准方程．

（2）若圆上两动点，与坐标原点所成角，求线段中点的轨迹方程；

（3）已知，圆与轴相交于两点两点（点在点的右侧）．过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）根据切点在过该切点的切线上，可得的值，再根据切线的性质，可以求出圆心的坐标，进而可以求出半径，最后求出圆的方程；

（2）由得到，再由点在圆上得到与，从而利用完全平方公式与中点坐标公式即可得解.

（3）假设这样的a存在，，求出两点的坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，根据，可以得到，结合一元二次方程根与系数关系，可以求出的值.

【小问1详解】

依题意，设圆心C的坐标为，

因为点在直线上，则，解得，故，

又，，，

则，故

所以，即半径.

故圆的标准方程为.

【小问2详解】

依题意，设，，则，

因为，所以，即，则，

又在圆上，则，即，

，即，

上述三式相加得，，

整理得，即，

所以，即线段中点轨迹方程为.

【小问3详解】

假设这样的a存在，

在圆中，令，得，解得或，

又由知，所以.

由题可知直线的倾斜角不为0，设直线，，

由，得，

∵点在圆C内部，∴恒成立，则.

因为，所以，即，

也即是，整理得，

从而，化简有，

因为对任意的都要成立，所以，

由此可得假设成立，存在满足条件的a，且.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；