湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2023-2024-1株洲市二中高二第一次月考试卷

数学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题“，”的否定是（    ）.

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据命题否定形式，即可求解.

【详解】命题“，”的否定是

“，”.

故选：C.

【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词之间的转换，属于基础题.

2. 焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.

【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，

故抛物线的标准方程是.

故选：D

3. 某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2~3天，长的大约10~14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（    ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意先求出每组得频率，再根据要使90%的患者显现出明显病状即可求得答案.

【详解】解：由题可知，第一，二，三，四，五组的频率依次为0.16，0.4，0.32，0.08，0.04，

又因前三组的频率和为0.88，前四组的频率和为0.96，

故要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是天.

故选：C.

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件及诱导公式求得，再求.

【详解】由得，

所以，

所以.

故选：A

5. 已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于

A. 4 B. 3 C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【详解】球心O为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为，所以,故选A.

6. 我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有斤棉花全部赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止.在这个问题中，第个孩子分到的棉花为（    ）

A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤

【答案】C

【解析】

【分析】

设第一个孩子分配到斤棉花，利用等差数列前项和公式得：，解方程从而得到.

【详解】解：设第一个孩子分配到斤棉花，
则由题意得：，
解得＝65，

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的公式的合理运用.

7. 设实数满足的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 前三个答案都不对

【答案】A

【解析】

【分析】利用椭圆的定义可求代数式的最小值.

【详解】设，则在椭圆上，

又，

设，则为椭圆的右焦点，

如图，设椭圆的左焦点为，则：

，

当且仅当三点共线且在之间时等号成立，

而，故的在最小值为，

故选：A.

8. 已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此．，．可得，结合余弦函数运算求解．

【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，

因为，则四边形为矩形，

所以，

则，．

．

．

即，

则，

因为，则，

可得，即，

所以，

即双曲线离心率的取值范围是，

故选：C．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 的图象关于点对称

C. 的图象关于直线对称

D. 的图象可以由的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到

【答案】AC

【解析】

【分析】利用数量积公式及三角恒等变换化简函数，再根据三角函数的性质逐项判断即可.

【详解】由题意可得，

的周期为，所以A正确；

当时，，所以图象关于对称，所以B错误；

当时，，所以的图象关于直线对称，所以C正确；

的图象向左平移个单位得，再向上平移1个单位得到，所以D错误.

故选：AC

10. 已知曲线的方程为（    ）

A. 当时，曲线是焦点坐标为的椭圆

B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

C. 不存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线

D. “”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A，直接求出椭圆焦点判断；对B，判断曲线为双曲线，写出其渐近线方程；对C，根据表示双曲线求出范围判断离心率是否为；对D：求出曲线为椭圆的条件判断即可.

【详解】对A：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆，

，故曲线是焦点坐标为，故A错误；

对B：当时，曲线的方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B正确；

对C：若双曲线离心率为，则，则，

要使得曲线为双曲线，则，即或，

当时，双曲线方程为，若离心率为，则，无解，

当时，双曲线方程为，若离心率为，则，无解，

所以不存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线，故C正确；

对D：若方程为椭圆，则 ，解得且，

所以由得不到曲线为椭圆，由曲线为椭圆可以得到，

故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件，故D正确.

故选：BCD

11. 设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ）

A. 数列是递增数列 B.

C.  D. 数列中最大项为第6项

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判定选项A错误、选项C正确；利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到判定选项B正确；利用判定选项D正确.

【详解】对于选项A、C：因为，，

则，，

又因为，则，解得

所以等差数列是递减数列，故A错误，C正确；

对于选项B：因为，所以，故B正确；

对于选项D：因为等差数列是递减数列，且，，

则，所以数列中最大项为第6项，故D正确；

故选：BCD.

12. 抛物线的焦点为为其上一动点，设直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（    ）

A. 的最小值为3

B. 抛物线上的动点到点的距离最小值为

C. 存在直线，使得两点关于对称

D. 过抛物线的焦点，长度为不超过2023的整数的弦的条数是4039

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.易知抛物线准线方程为：，过点P，作，由抛物线的定义求解判断；B.设，由，利用二次函数的性质求解判断；C.设，根据两点关于对称，设AB所在直线为：，联立，由线段AB的中点在直线上求解判断；D.设过焦点的直线方程为，联立，得到弦长的最小值判断；

【详解】解：抛物线的准线方程为：，

如图所示：

过点P，作由抛物线的定义得：，由图象知：当P，M，T三点共线时，的最小值为3，故A正确；

设，则，当时，，故B正确；

设，因为两点关于对称，设AB所在直线为：，联立，消去y得，则，解得，由韦达定理得，则线段AB的中点为，在直线上，则，解得，不成立，故C错误；

设过焦点的直线方程为，联立，消去x得，由韦达定理得，则线段，当时，等号成立，由抛物线的对称性知：长度为不超过2023的整数的弦的条数是，故D正确；

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数是R上的奇函数，且当时，，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】利用奇函数性质可得即可得解.

【详解】由题意可得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和对数运算的性质，属于基础题.

14. 已知数列中，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意分析可知数列的周期为6，结合周期性运算求解.

【详解】因为，则，

两式相加得，则，

所以数列的周期为6，

所以.

故答案为：.

15. 若曲线与直线有两个交点，实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.

【详解】根据题意画出图形，如图所示，由题意可得，曲线的图象为以 为圆心，2为半径的半圆，

直线l恒过，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离 ，

即，解得；

当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，

则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.

故答案为：

16. 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是________．

【答案】12

【解析】

【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及可求出，进而求出直线在轴上的截距，最后将面积之和表示出来，利用基本不等式求最值，即可得到结果．

【详解】由题意可知：，

设直线的方程为：，点，

直线与x轴的交点为，

联立方程，消去x得，

根据韦达定理有，

因为，所以，解得或，

由点在该抛物线上且位于轴的两侧，可知，

所以，故，此时，即，

不妨设点A在轴上方，则，，且，

则

,

当且仅当，即时，等号成立，

所以与面积之和的最小值是.

故答案为：12．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，角所对的边分别为，角成等差数列．

（1）若，求；

（2）若，求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求，再根据正弦定理可得，再结合同角的三角函数的基本关系式可求.

（2）利用数量积的定义可求，再利用余弦定理可求周长.

【小问1详解】

因为为等差数列，故，而，

故，而，故且，

故且为锐角，故.

【小问2详解】

因为，故即，

由余弦定理可得，

故，故或，

故三角形的周长为.

18. 湖南省高考目前实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门，已知中南大学湘雅医学院临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．

（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合中南大学湘雅医学院临床医学类招生选科要求的概率；

（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中有两人的选科组合符合中南大学湘雅医学院临床医学类招生选科要求的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可；

（2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可

【小问1详解】

用分别表示“选择物理”“选择历史”，用分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间

，，

设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合中南大学湘雅医学院临床医学类招生选科要求”则，，

.

【小问2详解】

设甲､乙､丙三人每人的选科组合符合中南大学湘雅医学院临床医学类招生选科要求的事件分别是，由题意知事件相互独立.

由（1）知.

记“甲､乙､丙三人中有两人的选科组合符合中南大学湘雅医学院临床医学类招生选科要求”，

则

易知以上子事件两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得

.

19. 已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据题意可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，把点代入双曲线方程，可得双曲线方程；

（2）可设直线l的方程为，代入双曲线C的方程并整理，根据直线l与双曲线C相交于不同的两点，进而可得k的范围，根据韦达定理可求得，进而表示出和原点O到直线l的距离根据的面积求得k，进而可得直线方程．

【小问1详解】

因为双曲线的两条渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线，

设双曲线的方程为，

代入，可得，

所以双曲线的方程为，即.

【小问2详解】

由题意可知：直线的斜率存在，设，

联立方程，消去y得，

可得，解得且，

则，

可得，

且到直线的距离，

由题意可得：，

解得或（舍去），即，

所以直线的方程为或.

20. 四棱锥，底面为矩形，侧面底面，．

（1）证明：；

（2）设与平面所成角为，求二面角的正弦值的大小．

【答案】（1）证明见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）由面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理与性质定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，

【小问1详解】

取中点，连接，

因为，则，

且平面平面，平面平面，平面，

可得平面，且平面，所以，

又因为，则，可得，

且平面，平面，，可得平面，

又因为平面，所以.

【小问2详解】

如图所示建立空间直角坐标系，

则，，，设，

则，，，

设平面的一个法向量为，则，

令，则，得，

因为与平面所成的角为，

故，解得，

即，可得，，

设平面的一个法向量为，则，

令，则，可得，

设二面角的平面角为，

则，

可得，

所以二面角的正弦值.

21. 已知正项数列，对任意，都有为数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若数列是递增数列，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题设中的递推关系可得，据此可求通项.

（2）利用参变分离可求参数的取值范围.

【小问1详解】

因为，故，

故，整理得到，

因为，故，故，

故为等差数列，而，故（舍）或，

故.

【小问2详解】

由（1）可得，

因为是递增数列，故，故，

整理得到：，故，

当为正奇数时，故恒成立，故；

当为正偶数时，故恒成立，故；

故.

22. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点，满足与共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）当椭圆的焦距为2时，设为椭圆上任意一点，且，求点到原点的最大距离．

【答案】（1）   

（2）
 

【解析】

【分析】（1）设点、，将直线的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出的坐标，利用与    共线，可得出关于、的关系可解得椭圆的离心率；

（2）设，由可得出，由点在椭圆上可得出，利用韦达定理可计算得出，再由不等式可计算得出的最大值即可.

【小问1详解】

设椭圆方程为，，则直线的方程为，

联立，消去并整理得，

设点、，由韦达定理可得，，

由，，

由与共线，得，

又，，，

，即，可得，

所以，椭圆的离心率为；

    【小问2详解】

证明：由（1）知，又椭圆的焦距为2，

所以椭圆方程．

联立，消去并整理得，

由韦达定理可得，，

，

设，由得，

所以.

在椭圆上，，

．

，

而，

，

，当时取等号，

，

点到原点距离为，

故点到原点的最大距离.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、，；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；