四川省部分名校2023-2024学年高三数学（文）上学期10月联考试题（Word版附解析）

2024届高三数学试题（文科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：小题按照必修1，必修4，必修5，选修1—1第一、三章出题，大题按照高考范围出题．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，且，则（    ）

A． B．1 C． D．2

3．曲线在处的切线的斜率大于1，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．若满足约束条件则的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知是定义在上的奇函数，且当时，单调递增，要确保的零点唯一，则的值可以为（    ）

A． B．0 C． D.5

8．定义矩阵运算，则（    ）

A． B． C． D．

9．在四边形中，，对角线相交于点，若，则（    ）

A．12 B．10 C．6 D.5

10．在同一直角坐标系中，函数与的部分图象不可能为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．某公司计划在10年内每年某产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.2倍再减去2．已知第一年（2022年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2022年到2031年该产品的销售总额约为（参考数据：）（    ）

A．2135.5万元 B．2235.5万元 C．2335.5万元 D．2435.5万元

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．命题“若，则不都小于1”的逆否命题为______．

14．在正项等差数列中，，则公差的取值范围是______．

15．将曲线各点的横坐标变为原来的2倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线．写出曲线的一条对称轴的方程：______．

16．如图，已知平面五边形的周长为12，若四边形为正方形，且，则当的面积取得最大值时，______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

某工厂的工人生产内径为的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸（单位：）如下：

这里用表示有个尺寸为的零件，均为正整数．若从这60个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小于的概率为．

（1）求的值．

（2）已知这60个零件内径尺寸的平均数为，标准差为，且，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有的零件内径尺寸在内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．

18．（12分）如图，几何体为三棱台．

（1）证明：平面．

（2）已知平面平面，求三棱台的体积．

参考公式：台体的体积，其中分别为台体的上底面面积、下底面面积，为台体的高．

19．（12分）分别为内角的对边，已知．

（1）求；

（2）若在线段上，，且的面积，求的周长．

20．（12分）已知函数，其中为正整数．

（1）求的单调区间；

（2）设的极值点为，求数列的前项和；

（3）证明：．

21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．

（1）求椭圆的方程．

（2）设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的方程为，直线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，点的极坐标为．

（1）求点的直角坐标与圆的直角坐标方程（化为标准方程）；

（2）若为曲线上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，求矩形周长的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知．

（1）若均为正数，证明：．

（2）若均为实数，求的最小值．

2024届高三数学试题参考答案（文科）

1．A  【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养．

因为，所以．

2．D  【解析】本题考查平面向量的垂直，考查数学运算的核心素养．

由，可得，解得．

3．A  【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．

设函数，则，所以，解得．

4．A  【解析】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合的数学思想．

作出可行域（图略），当直线经过点时，取得最小值，且最小值为．

5．B  【解析】本题考查正切的和差公式与同角的三角函数的关系，考查数学运算的核心素养．

因为，所以．

6．B  【解析】本题考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理的核心素养．

设甲、乙、丙的年龄分别为，根据已知条件得．若丙的年龄大于乙的年龄，则，则，因为，所以未必成立．若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则，则，即，所以丙的年龄大于乙的年龄．故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件．

7．C  【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．

因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于点对称，要确保的零点唯一，数形结合可得．

8．B  【解析】本题考查指数与对数的运算，考查数学运算的核心素养．

．

9．C  【解析】本题考查平面向量的基本定理与数量积，考查直观想象与数学运算的核心素养．

（方法一）由题意可知，与相似，所以，所以

，所以．

（方法二）．

10．C  【解析】本题考查三角函数图象的识别，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．

，故选C．

11．D  【解析】本题考查数列的实际应用，考查数学建模的核心素养与应用意识．

设该公司在2022年，2023年，…，2031年的销售额（单位：万元）分别为．依题意可得，则，所以数列是首项为90，公比为1.2的等比数列，则，即，则，故从2022年到2031年该产品的销售总额约为2435.5万元．

12．A  【解析】本题考查基本初等函数与比较大小，考查直观想象与逻辑推理的核心素养．

由，得，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知．

13．若都小于1，则  【解析】本题考查命题的逆否命题，考查逻辑推理的核心素养．原命题的逆否命题要将原命题的条件和结论都否定后再将所得条件与结论对换，“不都小于1”的否定为“都小于．

14．  【解析】本题考查等差数列，考查逻辑推理的核心素养．

依题意可得，且，所以．

15．（本题答案不唯一，只要的值满足即可）  【解析】本题考查三角函数图象的变换与对称性，考查数学运算的核心素养．

依题意可得，令，得．

16．  【解析】本题考查导数的实际应用，考查数学建模、直观想象、数学运算的核心素养．

过点作，垂足为．设，则，因为，所以，则．由，得．在中，．记的面积为，则．设函数，则，令，得或．当时，；当时，．故当时，取得最大值，则取得最大值，此时．

17．解：（1）依题意可得

解得

（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为，

所以，

所以，

所以这60个零件内径尺寸在内的个数为．

因为，所以这次抽检的零件不合格．

18．（1）证明：根据三棱台的几何性质可知，，

因为平面平面，所以平面．

（2）解：根据三棱台的几何性质可知，．

过作的垂线，垂足为．

因为平面平面，平面平面，

所以平面．

所以平面．

因为，所以，

，则三棱台的高为．

因为，所以的面积为．

又，所以的面积为．

故三棱台的体积．

19．解：（1）由正弦定理及，得．

因为，所以，

所以，

所以，

即，

因为，所以．

又，所以．

（2），

因为，所以．

又，所以．

由余弦定理得，则

所以．所以的周长为．

20．（1）解：，

当时，；当时，．

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）解：由（1）知，

当为偶数时，

；

当为奇数时，．

故

（3）证明：要证，只需证，即证．

设函数，则的导函数，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，，

所以在上存在唯一零点．因为，所以．

所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又，所以，

所以．

设函数，则在上单调递减，所以，

因为为正整数，所以，所以，所以．

21．（1）解：设椭圆方程为，

则解得

所以椭圆的方程为．

注：若直接设得到，扣1分．

（2）证明：设，

直线，令，得．

直线．令，得．

．

令，

令，得，

则．

故存在和，使得是定值，且定值为．

22．解：（1）设点的直角坐标为，则，

所以点的直角坐标为．

由，得，

所以圆的直角坐标方程为．

（2）设点的坐标为．

矩形PACB的周长为，

当时，矩形的周长取得最大值，且最大值为．

23．（1）证明：，

因为均为正数，所以由柯西不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故．

（2）解：因为，所以，

所以．设函数，

则

当时，；当时，；当时，．