山西省吕梁孝义市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

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2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）数学注意事项：1、本试卷分第I卷和第II卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3、考试结束后，只收回答题卡.第I卷  选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1.下列方程是关于的一元二次方程的是A.  B.C.  D.2.如图，将含有角的三角尺，以点中心，顺时针方向旋转，使得点在同一直线上，则旋转角的大小是A. B. C. D.3.方程的两个实数根是A.  B.，C.，  D.，4.将关于的方程配方成的形式，则的值是A.1 B.28 C.17 D.445.如果关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是A. B. C. D.6.将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是A.  B.C.  D.7.冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人.在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染.若每轮感染中平均一只动物会感染只动物，则下面所列方程正确的是A.  B.C.  D.8.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是A.，  B.，C.，  D.，9.二次函数的图象上部分点的坐标对应值列表如下：…01………则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A.开口方向向上  B.当时，随增大而增大C.函数图象与轴没有交点 D.函数有最小值是10.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是A. B.C. D.第II卷  非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共15分）11.如图，在中，，半径与交于点，若，，则______cm.12.2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转______°能与原雪花图案重合.13.已知点和点是二次函数（为常数）的图象上两点，则和的大小关系是______.14.2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为，则依题意可列方程为______.15.如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，且其周长是20，则四边形的面积的最大值是______.三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.解方程（每小题5分，共10分）（1）（2）17.（本小题5分）如图，以的顶点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，交的延长线于点.求证：.18.（本小题8分）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，.点是内的一点.（1）以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的，并写出，，的坐标：______，______，______注：点与，与，与分别是对应点.（2）点的对应点的坐标是______（3）若以点为中心，把逆时针旋转，则点的对应点的坐标是______，点与点关于______对称.（填写“轴、轴或原点”）19.（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：一元二次方程在几何作图中的应用如图1，在矩形中，，.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形的周长和面积的2倍.图1  图2因为矩形的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.若设所求作的矩形一边的长为，则与其相邻的一边长为.所以，得.解得，.当时，；当时，.所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.如图2，在边的延长线取点，使得.在上取.以和为邻边作出矩形.则矩形的周长和面积分别是矩形的周长和面积的2倍.学习任务：（1）在作出矩形的过程中，主要体现的数学思想是______；（填出序号即可）A.转化思想  B.数形结合思想C.分类讨论思想  D.归纳思想（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形的周长和面积的？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.20.（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一.如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度米，在水面的跨度米，桥面距水面的垂直距离米，以桥面所在水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？图1  图221.（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“______”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？解：设…根据题意，所列出方程：.…根据小明所列方程，完成下列任务：（1）填空：数学问题中“______”处短缺的条件是______.小明所列方程中未知数的实际意义是______（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.22.（本小题12分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，点是边上一点，将以点为中心，顺时针旋转，得到，连接.过点作，垂足为.试猜想与的数量关系，并证明.（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接，他们认为平分.请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；（3）问题解决：在图2中，若，则四边形的面积为______（直接写出答案即可）图1  图223.（本小题13分）综合与探究已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一个动点.（1）求出点，，的坐标；（2）如图1，当点在第四象限时，求出面积的最大值，并求出这时点坐标；（3）当时，求出点的坐标.图1  备用图  2024学年第一学期九年级期中质量监测试题数学参考答案一、选择题：1-10：DDCAB BCDCC二、填空题：11.2；12.60°；13.14.15.50.三、解答题：16.解： （1），（2），注：阅卷组自行制定评分细则17.证明：∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴∴18.解：（1）画图略，画图正确.，，.（2）.（3），原点.19.解：（1）B；（2）不存在.理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形的周长和面积的，则所求的矩形周长为7，面积为6设所求的矩形一边长为，则与其相邻的另一边的长为.所以，得整理，得因为.所以该方程无解.所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形的周长和面积的20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为.∵，∴点坐标为.∵，根据对称性可知，点坐标为.把，代入，得解得∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.（2）∵.∴该函数的顶点为.∵.∴桥拱最高点到水面的距离是16米.21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了元.（2）设每件商品的定价为元，根据题意可列方程.整理，得.解得，.为了让每位顾客得到更大的实惠，所以舍去.答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠.22.（1）.证明：∵是由顺时针方向旋转得到的，∴，∴∵，∴.（2）连接.∵四边形是正方形，∴，由（1）可知，，∴.∵ ∴.∴.∵，∴，∴，即平分.（3）19623.解：（1）当时，.解得，.∴点，.当时，，∴点（2）如图，过点作轴，垂足为，并且交直线于点.过点作，垂足为.设的解析式为.把点，点代入，得，解得，.∴直线的解析式为.设点，则点.则.∵.∴..∵，∴当时，有最大值，的最大值为.（3）∵点，点.∴.∵，∴.设点.如图，当点在轴下方时，过点作，垂足为.∵，.∴∴.∴.解得或（舍去）.当时，.∴点坐标为如图，当点在轴上方时，过点作，垂足为.∵，.∴∴.∴解得或（舍去）.当时，.∴点坐标为.∴当时，点或