重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

万州二中教育集团高2023级高一上期10月联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列说法正确的是

A. 我校爱好足球的同学组成一个集合

B. 是不大于3的自然数组成的集合

C. 集合和表示同一集合

D. 数1，0，5，，，， 组成的集合有7个元素

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的含义逐一分析判断即可得到答案

【详解】选项A，不满足确定性，故错误

选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误

选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确

选项D，数1，0，5，，，， 组成的集合有5个元素，故错误

故选C

【点睛】本题考查了集合的含义，利用其确定性、无序性、互异性进行判断，属于基础题．

2. 若全集且，则集合的真子集共有（    ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】C

【解析】

【分析】先利用补集求得集合A，进而得到真子集的个数.

【详解】解：因为全集且，

所以,

所以集合的真子集共有，

故选：C

3. “两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；

反之：由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立，

所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.

故选：C.

4. 下列四个命题为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确的选项.

【详解】取，则，故A选项错误.

取，则，故C选项错误.

取，则由解得，故D选项错误.

对于B选项，由得，故B选项正确.

故选：B

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查差比较法比较大小，属于基础题.

5. 设全集，集合，，则下列运算关系正确的是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求解出集合中表示元素的范围，则集合可知，然后对选项逐个判断即可，注意每个集合中的表示元素是哪一个.

【详解】因为中，所以，所以；

因为中，所以，所以；

A．，错误；

B．因为，所以，错误；

C．，正确；

D．因为，所以，错误；

故选C.

【点睛】本题考查集合的交并补混合运算对错的判断，难度一般.用描述法表示的集合一定要注意其表示元素是哪一个.

6. 若命题“，使得成立”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A. [1，+∞) B. [0，+∞) C. (，1) D. (，0]

【答案】A

【解析】

【分析】根据命题和它的否定命题一真一假，写出它的否定命题，再根据否定命题为真命题即可求出的取值范围.

【详解】命题“，使得成立”为假命题, 则它的否定命题:

“，”为真命题

所以

解得，所以实数a的取值范围是

故选：A.

7. 设，若不等式的解集是，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题知，且，再解不等式即可.

【详解】解：因为不等式的解集是，

所以，，2是方程的两个根，且，

所以，由韦达定理，即，且，

所以，不等式化为，解得，

所以，不等式的解集为.

故选：D

8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.

【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.

所以，即实数a的最小值为.

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列关于符号“”使用正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：，，所以，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：或，故D错误；

故选：BC

10. 下列命题为真命题的是（    ）

A. ，

B. 设全集为，若，则

C. “”是“”的必要不充分条件

D. “和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A，举例判断即可；对B，由补集的概念即可判断；对C，分别判断必要性与充分性；对D，分别判断必要性与充分性.

【详解】对A，当时，成立，A正确；

对B，全集为，，如图所示，

由补集的定义可知，成立，故B正确；

对C，“”可得“”成立，“”不能推倒得“”成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，C正确；

对D，当时，不是无理数，不满足充分性，

当时，，不都是无理数，不满足必要性，D错误.

故选：ABC

11. 已知关于x的不等式的解集为，则（    ）

A. 为定值

B. 的最小值为

C. 最大值为

D. 无最小值

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解可得，进而代入选项中，结合基本不等式以及二次函数的单调性即可求解.

【详解】由于的解集为，所以，

因此，故A正确，

，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确，

，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，

在单调递增，由于，故无最小值，故D正确，

故选：ABD

12. 已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最大值为

C. 的最小值为 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式求最值判断ABC，利用二次函数性质求得的取值范围判断D．

详解】，且，，，

对于A，利用基本不等式得，化简得，

当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；

对于B，，

当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；

对于D，

利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，

，

，故D正确；   

故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“，”的否定是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“，”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即为，

故答案为：

14. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____．

【答案】

【解析】

【分析】根据两个集合相等的关系，求得a，b的值，再求a2003+b2004的值．

【详解】解：由题意，0∈{a，，1}及a≠0，

可得=0，即b=0，

从而{a，0，1}={a，a2，0}，

进而有a2=1，即a=﹣1或1（舍去）（集合元素的互异性），

故a2003+b2004=﹣1，故答案为﹣1．

【考点】集合相等和集合元素的互异性．

【点睛】集合相等要分类讨论，以及利用元素的互异性进行取舍是解决本题的关键．

15. 已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的有__________.

①不等式的解集可以是

②不等式的解集可以是

③不等式的解集可以是

④不等式的解集可以是

【答案】②④

【解析】

【分析】在假设结论成立时求出值进行判断①④，举特例判断②③．

【详解】①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，

解得，与解集是矛盾，故错误；

②：当，时，不等式恒成立，则解集是，故正确；

③：当时，不等式，则解集不可能为，故错误；

④：假设结论成立，则，解得，符合题意，故正确；

故答案为：②④

16. 若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围__________.

【答案】或##

【解析】

【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围.

【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或.

故填：或

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）解不等式．

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；

（Ⅱ）先移项通分，进而可求出结果.

【详解】（Ⅰ）由得，即，

解得或，

所以不等式的解集为或；

（Ⅱ）由得，即，即，

解得，即不等式的解集为；

18 已知集合，，.

（1）求；

（2）若，求m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合A，由交集和并集的定义即可得出答案；

（2）由可得，讨论和，求解即可.

【小问1详解】

，

所以.

【小问2详解】

因为，所以，

若，则，解得：，

若，则，解得：，

所以m的取值范围为：.

19. （1）已知，，求的取值范围；

（2）已知a，b是正常数，且，，求证：，指出等号成立的条件；

【答案】（1）；（2）证明见解析，时等号成立

【解析】

【分析】（1）把用和表示后由不等式的性质得结论；

（2）作差变形后与0比较，或利用基本不等式证明．

【详解】（1）设，其中，

则，解得，即，

因为，则，，

可得，

所以的取值范围为；

（2）解法一：

，

，当且仅当，即时等号成立.

解法二：，

，

故，当且仅当，即时等号成立.

20. 已知集合，集合.

（1）当时，求；

（2）命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）把代入化简，求解一元二次不等式化简，再由交集运算得答案；

（2）由是的充分条件，得．然后对分类求解，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．

【详解】解：（1）当时，，

．

；

（2），，若是的充分条件，

则．

因为

当时，，显然成立；

当时，，，

，解得；

当时，，，

，解得．

实数的取值范围是．

【点睛】本题考查交集及其运算，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．

21. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．

（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．

【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元   

（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功

【解析】

【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；

（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.

【小问1详解】

因为体育馆前墙长为米，地面面积为，

所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，

设甲工程队报价为元，

所以，

因，

当且仅当，即时等号成立，

所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；

【小问2详解】

根据题意可知对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

因为，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．

22. 设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.

（1）直接判断集合和是否为的自邻集；

（2）比较和的大小，并说明理由；

（3）当时，求证：.

【答案】（1）不是的自邻集，是的自邻集；（2），理由见解析；（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可；

（2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案；

（3）记集合所有子集中自邻集的个数为，可得，然后分：①自邻集中含这三个元素，②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，③自邻集只含有这两个元素，三种情况求解即可

【详解】解：（1）因为，

所以和，

因为，所以不是的自邻集，

因为

所以是的自邻集，

（2），

则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9个，即

其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5个，

其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有{2，3}，{1，2，3}共2个，

所以

（3）证明：记集合所有子集中自邻集的个数为，由题意可得当时， ，，显然

①自邻集中含这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素为，所以含有这三个元素的自邻集的个数为，

②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，记自邻集除之外最大元素为，则，每个自邻集中去掉这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为种情况：

含有最大数为2的集合个数为

含有最大数为3的集合个数为

……，含有最大数为的集合个数为

则这样的集合共有，

③自邻集只含有这两个元素，这样自邻集只有1个，

综上可得

因为，，

所以，

所以，所以