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    重庆市第二十九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题(Word版附解析)

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    重庆市第二十九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题(Word版附解析)

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    这是一份重庆市第二十九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题(Word版附解析),共24页。试卷主要包含了多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    重庆二十九中2023-2024学年度上期高二年级数学10月考试题卷(命题人:    满分:150    时间:120分钟)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 两点的直线的倾斜角是(    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率,结合直线倾斜角的范围即可得出结果.【详解】由已知直线的斜率为 所以倾斜角故选:D.2. 已知直线的一个方向向量),直线的一个方向向量,若,且,则的值是(    A. 2 B. 1 C.  D. 1【答案】A【解析】【分析】根据模和垂直的空间向量公式,即可求解.【详解】,得,所以因为,则,得所以.故选:A3. 如图所示,中,点D是线段BC的中点,E是线段AD的靠近A的四等分点,则    A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.【详解】解:由题意可得:故选:D.4. 如图,在三棱锥中,是边长为3的正三角形,上一点,的中点,上一点且,则      A. 5 B. 3 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】为一组基底,表示求解.【详解】解:以为一组基底,所以.故选:D5. 如图,圆锥的轴截面为等边三角形,为弧的中点,为母线的中点,则异面直线所成角的余弦值为(      A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解法一:取中点,连接的中点,连接,先证明平面,即可得出,根据勾股定理求出.然后由,得出或其补角等于异面直线所成的角,在中,即可求出答案;解法二:先证明平面,建立空间直角坐标系,得出点的坐标,表示出,即可根据数量积公式,求出答案.【详解】解法一:  如图1,取中点,连接的中点,连接易知底面因为平面,所以平面底面.又平面底面所以平面.因为平面,所以.同理可得,.设底面半径为.因为分别为的中点,所以则在中,或其补角等于异面直线所成的角.所以.解法二:如图2的中点,连接易知底面因为平面,所以平面底面.又平面底面所以平面.   以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,设所以记所求角为,则.故选:C.6. 如图,平行六面体中,,则所成角的大小为(      A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】,表示出,计算,即可求得答案.【详解】,则三向量的夹角皆为由题意可得,所以所成角的大小为故选:C7. 中,内角A的平分线与边BC交于点D,若的面积,则AD的取值范围是(    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式建立方程,求出,再由三角形面积范围求出角A的范围,利用三角函数即可求解.【详解】 ,解得又因为所以,即故选:D8. 平面直角坐标系中,矩形的四个顶点为,,光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点,被AB反射到BC上的点,再被BC反射到OC上的点,最后被OC反射到x轴上的点,若,则的取值范围是(    A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据光线反射的性质,利用解三角形可得坐标,再由求解即可.【详解】由题意,,则,,即,解得.故选:A二、多选题(本大题共4小题,每小5分,共20分、在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9. 两直线互相平行的条件是(    A.  B. C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根据两直线平行斜率相等截距不相等可得答案.【详解】时,两直线分别为互相垂直,不满足题意;所以根据两直线平行可得,所以,又两直线不重合,所以时,时,故选:CD.10. 已知空间中三点,则(    A. B. 方向相反的单位向量的坐标是C. D. 上的投影向量的模为【答案】AB【解析】【分析】A选项,验证是否等于0即可;B选项,与方向相反的单位向量为,即可判断选项正误;C选项,验证是否存在非零实数,使即可;D选项,上的投影向量的模为,据此可判断选项正误.【详解】由题, .A选项,,则,故A正确;B选项,,则,故B正确;C选项,设,则,即不存在,故C错误;D选项,,则,故D错误.故选:AB11. 下列利用方向向量法向量判断线面位置关系的结论中,正确的是(    A. 两条不重合直线的方向向量分别是,则B. 直线的方向向量,平面的法向量是,则C. 两个不同的平面的法向量分别是,则D. 直线的方向向量,平面的法向量是,则【答案】AC【解析】【分析】对于,由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行;对于B,要考虑直线可能在面内;对于C,由两法向量垂直可得两平面垂直;对于D,直线方向向量与法向量平行,则直线与面垂直.【详解】对于,两条不重合直线的方向向量分别是,所以,即,故正确;对于B,直线的方向向量,平面的法向量是,所以,即,故B错误;对于C,两个不同的平面的法向量分别是,所以,故C正确;对于D,直线方向向量,平面的法向量是,所以,即,故D错误.故选:AC12. 如图,在多面体中,平面,四边形是正方形,且分别是线段的中点,是线段上的一个动点(含端点),则下列说法正确的是(    A. 存在点,使得B. 存在点,使得异面直线所成的角为C. 三棱锥体积的最大值是D. 当点处运动时,直线与平面所成的角逐渐增大【答案】ACD【解析】【分析】首先以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,对选项A,假设存在点,根据即可判断A正确,对选项B,假设存在点,根据无解即可判断B错误,对选出C,连接,根据即可判断C正确,对选项D,设直线与平面所成的角为,得到再根据函数的单调性即可判断D正确.【详解】为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,对于A,假设存在点,使得,又所以,解得:即点重合时,A正确;对于B,假设存在点,使得异面直线所成的角为因为所以,方程无解;所以不存在点,使得异面直线所成的角为B错误;对于C,连接因为所以当,即点与点重合时,取得最大值又点到平面的距离所以C正确;对于D,由上分析知:是面的法向量,则,则因为,设直线与平面所成的角为所以当点处运动时,的值由变大,此时也逐渐增大,因为为增函数,所以也逐渐增大,故D正确.故选:ACD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13. 已知,若,则________【答案】【解析】分析】根据,解得mn求解.【详解】由题意可知n不为0因为,且所以,解得所以故答案为:14. 中,角ABC所对的边分别为abc.若,则______【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A,根据正弦定理即可求的值.【详解】中,因为,则由正弦定理,可得:故答案为:15. 两条异面直线ab所成的角为,在直线ab上分别取点EAF,使,且已知,则线段的长为___________【答案】【解析】【分析】利用空间向量线性运算得到,结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解,注意的夹角有两种情况.【详解】由题意,得所以因为,所以 因为,所以,则,同理:因为异面直线ab所成的角为的夹角为时,所以,则,即,故的夹角为时,所以,则,故综上:线段的长为.故答案为:..16. 已知等腰内接于圆O,点M是下半圆弧上的动点(不含端点,如图所示).现将上半圆面沿AB折起,使所成的二面角.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为______.【答案】##0.5【解析】【分析】取下半圆弧的中点D,连接OCOD,以点O为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求解作答.【详解】在折后的图形中,取下半圆弧的中点D,连接OCOD,如图,依题意,平面,于是得平面是二面角的平面角,即,在平面内过点O因此射线两两垂直,以点O为原点,射线分别为非负半轴建立空间直角坐标系,,则,设点,显然有于是得,令直线AC与直线OM所成的角为因此当且仅当,即时取等号,显然直线AC与直线OM为异面直线,即而余弦函数上单调递减,因此取最大值时,角取最小值,所以直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为.故答案为:【点睛】思路点睛:求空间角的最值问题,根据给定条件,选定变量,将该角的某个三角函数建立起变量的函数,求出函数最值即可.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知直线.1若直线l与直线垂直,求实数的值2若直线lx轴上的截距是在y轴上截距的2倍,求直线l的方程.【答案】1    2【解析】【分析】1)根据直线垂直的充要条件列方程求解即可;2)求出在坐标轴上的截距,由条件求出,即可得出直线方程.【小问1详解】因为直线l与直线垂直,所以,解得.【小问2详解】,得,令由题意知,解得所以直线l的方程为.18. 已知的内角所对的边分别为,且.1,求的值;2的面积,求的值.【答案】1    2【解析】【分析】1)先求出,再利用正弦定理求解;2)利用的面积求出,再利用余弦定理求出得解.【小问1详解】,且.由正弦定理得,所以.【小问2详解】.由余弦定理得.19. 如图,四棱柱为平行六面体,的中点.1若点满足,求证:四点共面;2为正方体,求直线平面所成角的正弦值.【答案】1证明见解析;    2【解析】【分析】1)用向量证明即可;(2)用空间向量求角度.【小问1详解】证明:在四棱柱为平行六面体中,如图在的延长线上取,则,所以所以四点共面.【小问2详解】正方体,以为原点,所在直线轴如图建立空间直角坐标系,设平面的一个法向量为,令,则所以所以直线平面所成角的正弦值.20. 读书可以增长知识,开拓视野,修身怡情.某校为了解本校学生课外阅读情况,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本,其中男生40名,女生60名.经调查统计,分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位:小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位:小时)的频率分布直方图.男生一周阅读时间频数分布表小时频数92263  1由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的第75百分位数;2从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取7人,再从这7人中任意抽取2人,求恰好抽到一男一女的概率.【答案】1    2【解析】【分析】1)根据百分位数的定义,结合频率分布直方图可得答案;2)由频数分布表,频率分布直方图知,一周课外阅读时间为的学生中男生有6人,女生有人,按照比例抽样,利用古典概型可解.【小问1详解】设女生一周阅读时间的分位数为a,解得【小问2详解】由频数分布表,频率分布直方图知,一周课外阅读时间为的学生中男生有6人,女生有(人),若从中按比例分别抽取7人,则男生有2人,记为女生有5人,记为则样本空间共有21个样本点.记事件A恰好一男一女包含10个样本点,故所求概率21. 如图,在四棱锥中,是以为斜边的等腰直角三角形,的中点.    1证明:平面2求直线与平面间的距离.【答案】1证明见解析    2【解析】【分析】1)取的中点,连,可证四边形为平行四边形,,再根据线面平行的判定定理可得平面2)根据平面,转化为求点到平面的距离,取的中点,连,可证平面,以为原点,分别为轴,在平面内,作平面,建立空间直角坐标系,根据点面距的向量公式可求出结果.【小问1详解】的中点,连因为的中点,所以,所以所以四边形为平行四边形,所以因为平面平面所以平面.  .【小问2详解】因为平面,所以点到平面的距离即为所求.因为的中点,连,则四边形为矩形,因为是以为斜边的等腰直角三角形,所以因为平面所以平面,因为,所以平面因为,所以平面平面为原点,分别为轴,在平面内,作平面,建立如图所示的空间直角坐标系,因为平面平面,所以中,,所以因为,所以,因为是三角形内角,所以所以所以设平面的一个法向量为,取,则所以点到平面的距离为.故直线与平面间的距离为.  22. 如图1,菱形,动点在边上(不含端点),且存在实数使,沿向上折起得到,使得平面平面,如图2所示.1,设三棱锥和四棱锥的体积分别为,求2当点的位置变化时,平面与平面的夹角(锐角)的余弦值是否为定值,若是,求出该余弦值,若不是,说明理由;【答案】1    2是,.【解析】【分析】1)设,建立空间直角坐标系,由直线垂直,即可列式求解;2)设平面与平面的夹角,求出平面的法向量,平面的法向量,利用空间向量夹角公式即可求解.【小1详解】在图2中,取中点中点,连接,所以,所以,又因为平面平面平面平面平面所以平面由题意可知,为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,,则所以所以因为直线垂直,所以,解得:(舍所以所以1中点在靠近点的三等分点处,所以所以【小问2详解】平面与平面的夹角 平面的法向量设平面的法向量,即,取,得,所以所以所以无论点的位置如何,平面与平面的夹角余弦值都为定值

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