上海市东昌中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

东昌中学2023学年第一学期高二年级数学月考                   

2023.10

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分）

1．直线的倾斜角为________．

2．关于的方程的一个根是，则______．

3．若直线经过点，且与圆相切，则直线的方程是___________．

4．已知直线，若直线在轴上的截距为2，则实数______．

5．已知方程表示圆，则实数______．

6．若两个方程，中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是______．

7．已知向量，，若，则______．

8．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是______．

9．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为_______________．

10．设函数，已知在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________．

11．曲线围成的图形的面积为__________．

12．若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是___________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13题第14题每天4分，第15题第16题每题5分）

13．平面内点到、的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ）

A． B． C． D．

14．若直线与直线平行，则的值为（    ）

A．2或 B． C．或1 D．2

15．若，下列四个不等式：① ② ③ ④.

其中不正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

16．已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（    ）

A．且与圆相离 B．且与圆相切

C．且与圆相交 D．且与圆相离

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分）

已知中，，.

（1）若，求边上的高所在直线的一般式方程；

（2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程．

18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分）

在等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）若，证明：数列为等比数列，并求出的前项和．

19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1题满分7分，第2题满分7分）

在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系．

（1）求的重心的坐标，及点的坐标；

（2）求的周长．

20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）

已知直线和圆．

（1）直线恒过一定点，求出点坐标；

（2）当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短，求出弦长；

（3）在（2）的前提下，直线是过点且与直线平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．

21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）

已知圆，定点，，其中为正实数．

（1）当时，判断直线与圆的位置关系；

（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数，的值；

（3）当，时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．

参考答案

一、填空题

1.；    2.；  3.；   4.；  5.； 6.；   

7.；            8.；      9.；

10.；   11.    12.

11．曲线围成的图形的面积为______．

【答案】

【解析】当时，曲线化为，即；
当时，曲线化为，即；
当时，曲线化为，即；
当时，曲线化为，即.
画出图像：

因此曲线围成图形的面积.

12．若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【解析】设.
故可以看作点到直线与直线距离之和的5倍.

∵的取值与无关，∴这个距离之和与点在圆上的位置无关，如图所示：可知直线平移时，点与直线的距离之和均为之间的距离，即此时圆在两直线内部.
当直线与圆相切时，，化简得，
解得或（舍去），∴，即. 故答案为：.

二、选择题

13.B         14.B         15.C         16.A

15．若，下列四个不等式：① ② ③ ④.

不正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由可得，从而，①不正确；，②正确；

，则成立，③不正确；，④正确.

故不正确的不等式的个数为2，故选C.

16．已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（    ）

A．且与圆相离 B．且与圆相切

C．且与圆相交 D．且与圆相离

【答案】A

【解析】因为点在圆内，则.
因为圆心到直线的距离，故直线与圆相离.
又直线的方程为，即，所以.
故选：A.

三．解答题

17.（1）；（2）.

18.（1）；（2），∴为定值，.

19.（1）；（2）.

20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）

已知直线和圆．

（1）直线恒过一定点，求出点坐标；

（2）当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短，求出弦长；

（3）在（2）的前提下，直线是过点且与直线平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．

【答案】（1）；（2）；弦长为；

（3）.

【解析】（1）证明：由直线得.
联立，解得，所以直线恒过一定点；
（2）要使直线皮圆所截得的弦长最短，则.
由圆得，所以圆心为，

则，∴，解得；∴弦长为；

（3）由（2）得，直线，即.

如图，过与直线垂直的直线方程为，即.
联立，解得.

而到直线的距离，故所求圆的半径为.

即圆心在直线上，且与圆相外切的动圆中半径最小圆的标准方程为.

21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）

已知圆，定点，，其中为正实数．

（1）当时，判断直线与圆的位置关系；

（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数和的值；

（3）当，时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．

【答案】（1）相离；（2），；（3）.

【解析】（1）当时，的半径，圆心.
直线的方程为：，即，

所以圆心到直线的距离，故直线与圆相离；

（2）设，由题意可得：.

∵，所以，

化简整理得，也即.

∵点是圆上的任意一点，∴，∵均为正数，∴.

综上所述，结论是：，；

（3）时，直线的方程是：即.
圆心到直线的距离且.

∵为线段上的任意一点，∴.

设圆心到直线的距离，，

∴，

∴.

综上所述：.