四川省成都市石室中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

成都石室中学2023-2024学年度上期高2026届10月月考

数学试题

（满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C. （ D.

【答案】A

【解析】

【分析】要计算，则所得的集合的元素必是两集合所共有的，然后验证即可.

【详解】将代入，得，所以；将代入，得，所以；将代入，得，所以；将代入，得，所以，所以.

故选：A

2. 下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断.

【详解】对A：的定义域为R，的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A错误；

对B：∵，解得或，则的定义域为，

又∵，解得，则的定义域为，

则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B错误；

对C：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C错误；

对D：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D正确；

故选：D.

3. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.

【详解】要使函数有意义，则有，解得且

所以其定义域为

故选：B

4. 下列函数中，值域为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.

【详解】由已知值域为，故A错误；

时，等号成立，所以的值域是，B错误；

因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；

，，，所以，故D错误.

故选：C.

5. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.

【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,

则当时元,不符合题意;

当时,,令,解得,符合题意；

当时,,不符合题意.

综上所述: 此户居民本月用水量为15.

故选：C.

6. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．

【详解】由题意

，

当且仅当，即时等号成立﹐

此三角形面积的最大值为3.

故选：B．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

7. 已知，且，则的最小值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.

【详解】因为，所以，令，则且

，代入中得：

当即时取“=”,

所以最小值为1.

故选：B

8. 对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.

【详解】，，

当时，，

的定义域为，，所以是偶函数，

为偶函数，只需考虑在上的范围，

当时，在单调递减，

对，，，恒成立，

需，，.

当，在上单调递增，，

对，，，恒成立，

，，，

综上：

故选：B

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ）

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.

【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，

当时，，所以，所以，满足要求；

当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，

故选：BCD.

10. 符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 是奇函数

C. 值域为 D. 函数在上单调递增

【答案】ACD

【解析】

【分析】先证明是的周期函数；

对于选项A：根据直接计算；

对于选项B：举例说明不成立；

对于选项C：由周期函数知只需求当时的值域即可；

对于选项D：由周期函数知在上单调与上单调性相同，只需判断在上单调性即可.

【详解】

所以是的周期函数，

对于选项A：，故A正确；

对于选项B：，，不恒成立，故不是奇函数，所以B错误；

对于选项C：是的周期函数，当时，，所以在上的值域为，故C正确；

对于选项D：由周期函数知在上单调与上单调性相同，当时，单调递增，故D正确.

故选：ACD

11. 已知，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.

【详解】对于选项A：

，

，

，

，

都大于零

，

故选项A错误；

对于选项B：

，

，且，

，

，

，

，

故选项B正确；

对于选项C：

当，时，

，

故选项C错误；

对于选项D：

，

，

，

故选项D正确.

故选：BD

12. 若，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值是

C. 的最大值为 D. 的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可

【详解】对于A，因为，所以，

当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故正确；

对于B，因为，所以

所以，（当且仅当即时取等号，故等号不取）

，（当且仅当即时取等号，故等号不取），

所以，故错误；

对于C，因为，所以，

所以，

当且仅当即时，取等号，故正确；

对于D，，

当且仅当即时，取等号，故正确

故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知命题：都成立，命题：，若命题都是真命题，则实数的取值范围是__________.（用区间表示）

【答案】

【解析】

【分析】利用命题的真假、一元二次不等式的解法、一元二次方程判别式运算即可得解.

【详解】解：∵命题是真命题，∴都成立，

当时，恒成立；

当时，由，解得：.

∴由命题是真命题知.

∵命题真命题，∴，

∴，即，

解得：或.

∴由命题是真命题知或.

∵命题都是真命题，∴.

∴实数的取值范围是.

故答案为：.

14. 已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______．

【答案】－4

【解析】

【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.

【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为，

所以，

所以，

故答案为：

15. 已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性得到关于的不等式，解之即可.

【详解】因为是上的严格增函数，

当时，在上单调递增，所以，则；

当时，，

当时，，显然在上单调递减，不满足题意；

当时，开口向下，在上必有一段区间单调递减，不满足题意；

当时，开口向上，对称轴为，

因为在上单调递增，所以，则；

同时，当时，因为在上单调递增，

所以，得；

综上：，即.

故答案为：.

16. 已知正实数，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用不等式进行求解即可.

【详解】，

当且仅当且时，取等号，

即当且仅当时，等号成立，

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 全集，集合，集合，其中．

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A、B，结合并集的概念和运算即可求解；

（2）根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合补集的定义和运算与充分条件、必要条件的概念即可求解.

【小问1详解】

，

当时，

所以；

【小问2详解】

由，得，

所以集合，

因为是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，所以B是A的真子集，

所以且等号不同时成立，

解得．

即实数a的取值范围是．

18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；

（2）写出函数的解析式；

（3）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论）

【答案】（1）图象见解析，函数的单调递增区间为   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；

（2）利用函数是偶函数，求函数的解析式；

（3）利用数形结合，转化为与有4个交点，求的取值.

【小问1详解】

单调递增区间为.

【小问2详解】

设，则 ，所以，

因为是定义在上的偶函数，

所以，

所以当 时，.  

故的解析式为

【小问3详解】

因为有个不相等的实数根，

等价于与的图象有个交点，

结合（1）中的图象可知，

当时，与的图象有个交点，

所以.

19. 已知函数，.

（1）判断该函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断函数在上的单调性，并证明.

【答案】（1）函数为奇函数，理由见解析   

（2）在上是增函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意可求的解析式及定义域，利用奇偶函数的定义判断即可.

（2）利用函数单调性，按照取值、作差、变形、判号、下结论的步骤即可证明.

小问1详解】

由可得，所以

易知定义域为关于原点对称，

且满足

所以为奇函数；

【小问2详解】

函数在上是增函数，理由如下

取，且，则

由，且，所以，

因此可得，即，

即在上是增函数.

20. 已知是定义在上的奇函数，且

（1）求的解析式；

（2）记的值域为集合A，集合，若，求m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由求得，进而求得.

（2）根据函数值域的求法求得，根据列不等式，从而求得的取值范围.

【小问1详解】

由于是奇函数，且，

所以，解得，经检验成立，所以.

【小问2详解】

由（1）得，

，

当时，，

，当且仅当时等号成立，

所以.

当时，，

当且仅当时等号成立，

所以，

综上所述，的值域

又，所以，解得，

所以的取值范围是.

21. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．

（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；

（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.

【答案】（1）   

（2），118000元

【解析】

【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；

（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.

【小问1详解】

由题意可得，，且，则，

则

【小问2详解】

由（1）可知，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以，当米时，元.

22. 已知，函数．

（1）当时，若对任意都有，证明：；

（2）当时，证明：对任意的充要条件是；

（3）当时，讨论：对任意的充要条件．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由题意，即可得证；

（2）分别证必要性与充分性，即必要性：任意；充分性：

（3）时，证，由，可得，再证可得，即可求解

【小问1详解】

根据题意，对任意都有，

又，

所以，

因为，

所以；

【小问2详解】

必要性：任意，

据此可推出，即，

所以；

任意，

因为，可得，

可推出，即，

所以；

所以；

充分性：因为，，对任意，

可推出，

即，

因为，，对任意，

可推出，

即，

所以，即；

综上可知：当时，对任意的充要条件是；

【小问3详解】

因为，，对任意，

可推出，

即；

，即，

又，

即；

所以当，时，对任意的充要条件是