四川省成都市第二十中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

成都20中高2026届高一（上）十月月考数学

总分: 150分

一. 单选题

1. 已知集合，则 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

2. 已知命题，使得，则为（    ）

A. ，都有 B. ，使得

C. ，都有 D. ，使得

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】因为，使得，

所以为：，都有.

故选：C.

3. 已知集合．则（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.

【详解】因为集合或，

，

所以或，

故选：C

4. 已知​，​，​，下列关系正确的是（   ）

A. ​ B. ​ C. ​ D. ​

【答案】D

【解析】

【分析】应用作差比较法.

【详解】​，

​，

故选：D.

5. “”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式恒成立，求实数的取值范围，再利用集合的包含关系，判断充分，必要条件.

【详解】当时，对任意的恒成立，

当时，则，解得：，故的取值范围为．

故“”是的充分不必要条件．

故选：A

6. 已知，则的最小值为（    ）

A. 16 B. 18 C. 8 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”灵活代换及均值不等式即可求解.

【详解】解：因，所以，

又因为，

所以

（当且仅当即时等号成立），

故选：B.

7. 甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 一样低 D. 不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.

【详解】设两次加油时的单价分别为元和元，且，

则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，

乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，

可得，所以乙的平均价格更低.

故选：B.

8. 已知函数​其中​是实数​中，​的取值范围是​，若关于​的不等式​的解集为​，则实数​的值为（   ）

A. ​ B. ​ C. ​ D. ​

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函数值域可得，再利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即得.

【详解】因为的取值范围是，则，解得，

因为不等式的解集为，

令，即，则此方程的两根为，，

且，解得，而，

于是，

即，解得，

所以实数的值为16.

故选：A

9. 下列关系中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据空集的定义和性质，依次判断即可

【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误；

选项B：中只有一个元素，故B正确；

选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确

故选：BCD

10. 若，下列不等式一定成立的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用作差法逐项判断.

【详解】A项，，故正确；

B项，，故错误；

C项．，故正确；

D项．，分母正负号不确定，故错误；

故选：AC

11. 下列命题中的真命题有（   ）

A. 当​时，​的最小值是​

B. ​的最小值是​

C. 当​时，​的最大值是​

D. 若正数​，​为实数，若​，则​的最大值为​

【答案】AC

【解析】

【分析】选项ABC，利用基本不等式求解最值，注意“正、定、等”的分析；选项D，利用“1”的代换转化应用基本不等式求解最值.

【详解】对于选项A，因为，则，

所以，

当且仅当，

即时，等号成立，故选项A正确；

对于选项B，因为

，

等号成立的条件是，无解，所以等号取不到，

即恒成立，

显然最小值大于，故选项B错误；

对于选项C，因为，则，

所以，

当且仅当，

即时，等号成立，故选项C正确；

对于选项D，由，可得，

故

，

当且仅当，即时取等号，故选项D错误

故选：AC.

12. 已知关于​的一元二次不等式​的解集为​，则下列说法正确的是（   ）

A. 若​，则​，​

B. 若​，则关于​的不等式​的解集也为​

C. 若​，则关于​的不等式​的解集为​或​

D. 若​，​为常数​，且​，则​的最小值为​

【答案】ACD

【解析】

【分析】A项，结合二次函数图象可得；B项，分析二次项系数异号时解集情况可知；C项，由不等式的解集可得方程的根，从而得到系数的关系，代入可解新的不等式；D项，结合二次函数图象得系数的等量关系，消元代入所求式子，将换元看成一个整体，利用基本不等式可求最值.

【详解】A项，由题意知，

若​，则无解，即恒成立，

故二次函数开口向下，且与轴无交点，或有且仅有一个公共点，

故​，​， 故​A正确；

B项，由题意知，设​，

则​，​，​，

设不等式的解集为，

若​，则不等式​，

则​，解集，故 ​B错误；

C项，若一元二次不等式解集为​，

则是方程的两根，

则由韦达定理知​，且​，

​， 不等式​可化为

，即，由，

解得​或​，

​不等式​的解集为​或​，故 C正确；

D项，若一元二次不等式​的解集为​，​为常数​，

且​，

故二次函数图象开口向上，且与轴有且仅有一个公共点，

​且​，​，

设​，则​，

则​

当且仅当​，即​，​时取等号，

​的最小值为​，故​D正确.

故选：ACD.

二．填空题

13. 已知集合，定义集合运算，则________.

【答案】

【解析】

【分析】由新定义运算求解，

【详解】由题意知，集合

则a与b可能的取值为0，2，3，

∴的值可能为0，2，3，4，5，6，

∴

故答案为：

14. 若集合，若的真子集个数是3个，则的范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得方程有两个不相等的根，所以，从而可求出的范围

【详解】因为集合的真子集个数是3个，所以集合中有两个元素，

所以方程有两个不相等的根，

所以，解得，且，

即的范围为，

故答案为：

15. 若，，，则的取值范围为__________

【答案】

【解析】

【分析】利用不等式的性质运算即可得解.

【详解】解：设，则，

解得：，，则，

而由，可得，

再由，可得，

所以，

即，可得.

故答案为：.

16. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果.

详解】由，可得，

由题意当，即时，不等式的解集为；

若满足解集中仅有四个整数，为，则，

此时，与矛盾；

当时，即，不等式的解集为，不符合题意；

当，即时，不等式的解集为；

若满足解集中仅有四个整数，可能为，或，

当为时，则，且，无解，

当整数解为时，，且，

解得；

综上知，实数的取值范围是.

故答案为：

三. 解答题

17. 已知集合，，

（1）求；

（2）求，.

【答案】（1）或   

（2），或

【解析】

【分析】（1）利用不等式的解法、补集的概念运算即可得解.

（2）利用不等式的解法、集合的运算分析运算即可得解.

【小问1详解】

解：由题意，，

∴或.

【小问2详解】

解：由题意，，

或，

∴，或.

18. 为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，问：

（1）设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用=）

（2）这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）

【答案】（1）   

（2）最多使用10年报废

【解析】

【分析】（1）根据题意，即可求得年平均费用y关于x的表达式；

（2）由，结合基本不等式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，

所以关于的表达式为.

【小问2详解】

解：因为，所以，

当且仅当时取等号，即时，函数有最小值，即这套设备最多使用10年报废.

19. 已知命题，为假命题.

（1）求实数取值集合；

（2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可得，即可求得集合；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：由题意可得，解得，故.

【小问2详解】

解：由题意可知.

当时，则，解得，此时成立；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

20. 已知关于的不等式的解集为或.

（1）求，的值；

（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由不等式的解集为或，得到1和是方程的两个实数根求解.

（2）根据，由，利用基本不等式求得最小值即可.

【小问1详解】

解：因为不等式的解集为或，

所以1和是方程的两个实数根，且，

所以，解得，

即，.

【小问2详解】

由（1）知，于是有，

故，

当且仅当，结合，即时，等号成立，

依题意有，即，

得，即，

所以的取值范围为.

21. 已知命题​，​成立​命题​：对​，​，​，都有​成立​

（1）若命题​为真命题，求​的取值范围​

（2）若命题​和命题​有且只有一个命题是真命题，求​的取值范围​

【答案】（1）   

（2）​或​

【解析】

【分析】（1）将分母看成整体，将式子配凑成可用基本不等式求最值的形式，再求解即可；

（2）分真假与真假两类情况分别求解，最后求并集.

【小问1详解】

因为命题​为真命题，

则对​，​，​，都有​成立​

因​，所以​，

因为​​

​，

当且仅当，即​时等号成立，

要使​恒成立，则​，

即​.

【小问2详解】

由命题​为真命题，则方程在内有解

得​，解得​或​，

当命题​为真命题时，命题​为假命题，

可得​或​，

当命题​为假命题时，命题​为真命题，

可得​，

综上所述：​的取值范围是​或​

22. 已知函数．

（1）若不等式的解集为R，求m的取值范围；

（2）解关于x的不等式；

（3）若不等式对一切恒成立，求m取值范围．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；

（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集

（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．

【小问1详解】

根据题意，当，即时，，不合题意； 

当，即时，

的解集为R，即的解集为R，

即，故时，或.

故 ．

【小问2详解】

，即，

即，

当，即时，解集为；

当，即时，，

，

解集为或；

当，即时，，

，

解集为．

综上所述：当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为或.

【小问3详解】

，即，

恒成立，

，

设则，

，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

当时，，

．

【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.