河南省南阳市唐河县2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023~2024学年度九年级综合素养评估（一）

数学

上册第21~22章

注意事项：共三大2题，满分120分，答题时间100分钟．

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，将正确答案的代号填在下表中．

1．下列各式是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．若式子是二次根式，则m的值不可以是（    ）

A．0 B．-2 C．2 D．3

3．化简的结果为（    ）

A． B．-7 C． D．7

4．关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．用配方法解方程，变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．关于x的一元二次方程的一个根为1，则p的值为（    ）

A．2 B．1 C．-1 D．-2

7．一元二次方程（k为常数）根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根、

C．没有实数根  D．无法确定

8．若，则代数式的值为（    ）

A．7 B． C． D．5

9．小英在中的“■”填入运算符号“×”得到的结果为m，小康在中的“■”填入运算符号“÷”得到的结果为n，则m，n之间的关系为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，某校一处新辟园地是长20米，宽15米的矩形．现要在中间开辟一横两纵等宽的步行小道，使剩余部分的种植面积为252平方米，则小道的宽为（    ）

A．1米 B．2米 C．3米 D．5米

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．

11．化简：的结果是______．

12．若，是一元二次方程的两个根，则的值是______．

13．在中，已知，，，则BC的长为______．

14．郑州“市长杯”足球预选赛实行双循环赛制，每两支参赛队都要进行两次比赛．若某个预选赛区共要比赛42场，则参赛队有______支．

15．一等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为______．

三、解答题：本题共8个大题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（10分）（1）计算：．

（2）解方程：．

17．（9分）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和2，求阴影部分的面积．

18．（9分）已知，，求下列代数式的值．

（1）．

（2）．

19．（9分）已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根．

（2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围．

20．（9分）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，即p为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．

【思考应用】某中学准备开辟一块面积为５平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的三边长分别为米，米，米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求，请通过计算说明理由．

21．（9分）改造老旧小区，建设仁和宜居新环境．某市2021年投入资金500万元，2023年投入资金720万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．

（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？

22．（10分）我们知道可以用公式来分解因式解一元二次方程．

例如：，方程分解为______，

，方程分解为______．

爱钻研的小明同学发现二次项系数不是１的方程也可以借助此方法解一元二次方程．

例如：．

解：方程分解为，从而可以快速求出方程的解．

（1）补全题中空白部分的内容．

（2）请利用此方法解方程．

（3）请利用此方法解关于x的一元二次方程．

23．（10分）阅读材料，根据材料解决以下问题．

材料1：若一元二次方程的两个根为，，则，．

材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根．

理解：（1）一元二次方程两个根为，，则______，______．

探究：（2）已知实数m，n满足，，且，求的值．

拓展：（3）已知实数s，t分别满足，，其中且．求的值．

2023~2024学年度九年级综合素养评估（一）

数学参考答案

1．C    2．B    3．D    4．A    5．C    6．B    7．A    8．D    9．B    10．A

11．    12．1    13．    14．7    15．3或4

16．解：（1）．…5分

（2），，

或，∴，．…10分

17．解：∵矩形内两相邻正方形的面积分别为12和2，

∴两个正方形的边长分别为，，…4分

∴阴影部分的面积为．…9分

18．解：（1）∵，，

∴，，…2分

∴．…4分

（2）∵，，

∴，，…6分

∴．…9分

19．解：（1）证明：∵，⋯3分

∴该方程总有两个实数根．⋯4分

（2），

因式分解得，⋯6分

∴，．

∵方程有一实数根大于2，∴，解得，

即a的取值范围为．…9分

20．解：不能，理由如下：

∵，，，

∴，…2分

∴（平方米）．…5分

∵，…8分

∴这块三角形空地不能满足学校的需求．⋯9分

21．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x．

依题意，得，…3分

解得，（不合题意，舍去）．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20％．…5分

（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区．

依题意，得，解得．…7分

又∵y为整数，∴y的最大值为9．

答：该市在2024年最多可以改造9个老旧小区．…9分

22．解：（1）；．…2分

（2）∵，

∴可分解为，…3分

∴或，∴，．…5分

（3）∵，

∴可分解为，

∴或，

∴或．…10分

23．解：（1）2；．…2分

（2）∵，，且，

∴m，n是方程的两个不相等的实数根，

∴，，

∴．…5分

（3）将等式两边同时除以，

得，即．

∵且，

∴实数s和是方程的两个不相等的实数根，…7分

∴，，

∴．……10分