2018-2021年广东中考数学真题分类汇编之方程与不等式

2018-2021年广东中考数学真题分类汇编之方程与不等式

一．选择题（共11小题）

1．（2018•广东）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥

2．（2021•广州）方程＝的解为（　　）

A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6

3．（2021•深圳）《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝100亩），总价值10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，则下面所列方程组正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

4．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（　　）

A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7

5．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）

A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2

6．（2018•深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

7．（2018•广东）不等式3x﹣1≥x+3的解集是（　　）

A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2

8．（2018•深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　）

A．10%x＝330 B．（1﹣10%）x＝330 

C．（1﹣10%）2x＝330 D．（1+10%）x＝330

9．（2021•深圳）不等式x+1＞2的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． 

C． D．

10．（2020•广州）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

11．（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）

A．＝ B．＝ 

C．＝ D．＝

二．填空题（共6小题）

12．（2021•广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 　   　．

13．（2021•深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 　   　．

14．（2020•广州）方程＝的解是　   　．

15．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　   　．

16．（2021•广东）二元一次方程组的解为 　   　．

17．（2018•广州）方程＝的解是　   　．

三．解答题（共3小题）

18．（2021•广东）解不等式组．

19．（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．

（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

20．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．

（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．

2018-2021年广东中考数学真题分类汇编之方程与不等式

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．（2018•广东）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥

【考点】根的判别式．

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，

∴m＜．

故选：A．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

2．（2021•广州）方程＝的解为（　　）

A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6

【考点】解分式方程．

【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．

【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论．

【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，

∴x＝6．

经检验，x＝6是原方程的解．

故选：D．

【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．

3．（2021•深圳）《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝100亩），总价值10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，则下面所列方程组正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．

【分析】设他买了x亩好田，y亩坏田，根据总价＝单价×数量，结合购买好田坏田一共是100亩且共花费了10000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：设他买了x亩好田，y亩坏田，

∵共买好、坏田1顷（1顷＝100亩）．

∴x+y＝100；

∵今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱，购买100亩田共花费10000钱，

∴300x+y＝10000．

联立两方程组成方程组得：．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

4．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（　　）

A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7

【考点】分式方程的解．

【专题】新定义．

【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．

【解答】解：根据题意，得＝﹣1，

去分母得：1＝2﹣（x﹣4），

解得：x＝5，

经检验x＝5是分式方程的解．

故选：B．

【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．

5．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）

A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2

【考点】根与系数的关系．

【专题】一元二次方程及应用．

【分析】由根的判别式Δ＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．

【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，

∴x1≠x2，选项A不符合题意；

∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，

∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；

∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．

6．（2018•深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【专题】常规题型．

【分析】根据题意可得等量关系：①大房间数+小房间数＝70；②大房间住的学生数+小房间住的学生数＝480，根据等量关系列出方程组即可．

【解答】解：设大房间有x个，小房间有y个，由题意得：

，

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元二一方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

7．（2018•广东）不等式3x﹣1≥x+3的解集是（　　）

A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2

【考点】解一元一次不等式．

【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．

【分析】根据解不等式的步骤：①移项；②合并同类项；③化系数为1即可得．

【解答】解：移项，得：3x﹣x≥3+1，

合并同类项，得：2x≥4，

系数化为1，得：x≥2，

故选：D．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

8．（2018•深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　）

A．10%x＝330 B．（1﹣10%）x＝330 

C．（1﹣10%）2x＝330 D．（1+10%）x＝330

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．

【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）＝现在卖出的双数，依此列出方程即可．

【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得

（1+10%）x＝330．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．

9．（2021•深圳）不等式x+1＞2的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． 

C． D．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观；运算能力．

【分析】先移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．

【解答】解：因为x+1＞2，

所以x＞1，

在数轴上表示为：

故选：D．

【点评】此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集．

10．（2020•广州）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

【考点】根的判别式；一次函数的性质．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．

【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．

【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，

∴a≤0，

当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，

当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，

∵Δ＝22﹣4a＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．

11．（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）

A．＝ B．＝ 

C．＝ D．＝

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【专题】分式方程及应用．

【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．

【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

二．填空题（共6小题）

12．（2021•广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 　x1＝0，x2＝4　．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【分析】方程利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程x2﹣4x＝0，

分解因式得：x（x﹣4）＝0，

可得x＝0或x﹣4＝0，

解得：x1＝0，x2＝4．

故答案为：x1＝0，x2＝4．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．（2021•深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 　2　．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】一元二次方程及应用；推理能力．

【分析】根据一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．

【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0，

解得m＝2．

故答案是：2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

14．（2020•广州）方程＝的解是　x＝　．

【考点】解分式方程．

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：方程＝，

去分母得：2x＝3，

解得：x＝，

经检验，分式方程的解为x＝．

故答案为：x＝．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

15．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　x2﹣2＝0（答案不唯一）　．

【考点】一元二次方程的定义．

【专题】一元二次方程及应用；推理能力．

【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．

【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，

∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），

故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．

【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

16．（2021•广东）二元一次方程组的解为 　　．

【考点】解二元一次方程组．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【分析】直接利用加减消元法求解可得问题的答案．

【解答】解：，

①×2﹣②，得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，

将y＝﹣2代入②，得：2x+（﹣2）＝2，

解得：x＝2，

所以方程组的解为．

故答案为．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组化为一元方程是解答此题的关键．

17．（2018•广州）方程＝的解是　x＝2　．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题；分式方程及应用．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x+6＝4x，

解得：x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解，

故答案为：x＝2

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

三．解答题（共3小题）

18．（2021•广东）解不等式组．

【考点】解一元一次不等式组．

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式2x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜2，

解不等式4x＞，得：x＞﹣1，

则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19．（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．

（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．

【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入＝李某去年的年工资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，

依题意得：31+2x+x＝100，

解得：x＝23．

答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．

（2）设李某的年工资收入增长率为m，

依题意得：9.6（1+m）≥12.48，

解得：m≥0.3＝30%．

答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

20．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．

（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】方程思想；一元二次方程及应用．

【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；

（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．

答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．

（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，

依题意，得：6（1+x）2＝17.34，

解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．

答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

考点卡片

1．由实际问题抽象出一元一次方程

审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．

（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．

（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．

2．一元一次方程的应用

（一）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；

（5）行程问题（路程＝速度×时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．

2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．

3．列：根据等量关系列出方程．

4．解：解方程，求得未知数的值．

5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．

3．解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．

4．由实际问题抽象出二元一次方程组

（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．

（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．

5．一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

6．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．

7．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

8．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

9．根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．

10．一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

11．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

12．解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程时，一定要检验．

13．由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．

（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．

（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．

14．在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

【规律方法】不等式解集的验证方法

　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．

15．解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．

注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．

16．一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．

②根据题中的不等关系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④写出符合题意的解．

17．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

18．一次函数的性质

一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴。