数学九年级上册第三章 二次函数6 二次函数的应用导学案

课题

7　二次函数与一元二次方程

课时

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教学目标

1.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,学会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根.

2.(1)通过自主探究,了解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

(2)经过交流探讨,学会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根.

3.通过二次函数图象与一元二次方程之间关系的探究活动,体会二次函数与一元二次方程之间的联系;使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.

教学

重难点

重点:二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

难点:学会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac>0时,有　　　不相等的实数根;当　　　时,有两个相等的实数根;当　　　时,没有实数根. 

(2)二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的坐标是(x1,0),(x2,0),该函数可以表示为　　　　　　. 

2.已知二次函数的图象与x轴的交点坐标是(-1,0),(5,0),且函数的最值是-3.求该抛物线的表达式.

探索新知

合作探究

自学指导

1.我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么

(1)h和t的表达式是什么?

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

2.(1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.

探索新知

合作探究

①每个图象与x轴有几个交点?

②一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个实数根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

思考:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

(2)你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?

提示:用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.

试一试:

用一元二次方程的求根公式验证一下,看是否有相同的结果?

3.思考

请你总结出利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤?

4.自学课本107~108页,探讨二次函数图象与一元二次方程的关系的过程.

学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.

合作探究

1.讨论

小组讨论自学指导中出现疑问的地方.

2.组织学生探究二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

3.组织学生总结利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤.

教师指导

1.易错点:

(1)忽略一元二次方程二次项系数不为零的条件,取值范围易错.

(2)忽略一元二次方程有实根的条件.

2.归纳小结:

(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系:①与x轴有2个交点,有两个相异的实数根,根的判别式Δ=b2-4ac>0;②与x轴有1个交点,有两个相等的实数根,根的判别式Δ=b2-4ac=0;③与x轴没有交点,没有实数根,根的判别式Δ=b2-4ac<0.

(3)利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤:

①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象;

②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标;

③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解.

探索新知

合作探究

3.方法规律:

(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.

(2)当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

(3)熟记用二次函数图象求一元二次方程近似解的步骤.

当堂训练

1.当a<0时,方程ax2+bx+c=0无实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象一定在(　　)

(A)x轴上方                       (B)x轴下方

(C)y轴右侧                       (D)y轴左侧

2.抛物线y=x2-4x+4与x轴有　　　　个交点,坐标是　　　　. 

3.二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示,求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.

4.已知二次函数y=x2-kx+k-5.

(1)求证:无论k取何实数,二次函数的图象与x轴都有两个交点;

(2)若二次函数图象的对称轴为x=1,求它的表达式.

板书设计

二次函数与一元二次方程

1.二次函数与一元二次方程的关系

2.二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系

3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤

教学反思

关注学生学习的过程,在教学过程中,教师作为引导者,为学生创设问题情境、提供问题串,给学生提供广阔的思考空间、活动空间,为学生搭建自主学习的平台;学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程,其知识的形成和能力的培养相伴而行.总之,教无定法,只有找到适合学生接受的方法就是好方法,自己在以后的教学中还要积极不断地去探究、去总结,让学生学得轻松,教师教得轻松.