2023-2024学年湖南省长沙一中新华都学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙一中新华都学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.如图，点、、为上的点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.关于二次函数的图象，下列说法不正确的是(    )

A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标为
C. 图象的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小

8.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使点恰好落在上，则旋转角度为(    )

A.
B.
C.
D.

9.若方程  的一个根是，则它的另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

10.下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.若代数式有意义，则实数的取值范围为           ．

12.分解因式：______．

13.如图所示，，两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为，则，间的距离为______．

14.设、，是方程的两个根，则 ______ ．

15.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离是______．

16.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程没有实数根其中正确的结论个数是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：．

18.本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在直角坐标系中，的顶点均在格点上，点．
把向上平移个单位长度后得到对应的，画出，并写出点的坐标；
以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并写出点的坐标．

20.本小题分
已知函数为常数，求当为何值时：
是的一次函数？
是的二次函数？并求出此时纵坐标为的点的坐标．

21.本小题分
运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某初级中学为了解学生一周在家运动时长单位：小时的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组，其中每周运动时间不少于小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生．
请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数．
若该校有学生人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数．
根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并提出一条合理化的建议．

22.本小题分
某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
求篮球和足球的单价分别是多少元；
学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么最多采购篮球多少个？

23.本小题分

如图，是矩形对角线的交点，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

24.本小题分
约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线对称，则把该函数称为“对称函数”，其图象上关于直线对称的两点叫做一对“对称点”根据该约定，完成下列各题：
在下列关于的函数中，是“对称函数”的，请在相应题目后面的横线中打“”，不是“对称函数”的打“”．
______ ；
______ ．
关于的函数是常数是“对称函数”吗？如果是，写出距离为的一对“对称点”坐标；如果不是，请说明理由；
若关于的“对称函数”是常数，的一对“对称点”，、分别位于轴、轴上，求同时满足下列两个条件的“对称函数”的解析式：
该“对称函数”截轴所得的线段长为；
该“对称函数”截直线所得的线段长为．

25.本小题分
如图，二次函数与轴相交于点，，点在轴负半轴，过点的直线交该抛物线于另一点，交轴正半轴于点．

如图，若，求该抛物线的解析式；
如图，若点是线段上一点，当时，求点的坐标用含的代数式表示；
如图，在的条件下，设抛物线交轴于点，过，，三点作，经过点的直线交于点，，交抛物线于点，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，据此即可求得答案．
本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与原图重合．

3.【答案】 

【解析】解：，即项不合题意，
B.和不是同类项不能合并，即项不合题意，
C.，即项符合题意，
D.，即项不合题意，
故选：．
根据去括号法则和合并同类项法则计算即可求解．
本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【解答】
解：直尺的两边互相平行，，
．
，
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：这组数据，，，，，，中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
中位数为．
故选：．
根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：，
，
，
，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：二次函数，
，函数的图象开口向下，故选项A正确；
顶点坐标是，故选项B正确；
对称轴是直线，故选项C不正确；
当时，随的增大而减小，故选项D正确；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

8.【答案】 

【解析】【分析】
 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明为等边三角形．
先利用互余得到，再根据旋转的性质得，等于旋转角，然后判断为等边三角形得到，从而得到旋转角的度数．
【解答】
解：，，
，
绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，
，等于旋转角，
为等边三角形，
，
即旋转角度为．
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：
设方程的另一根为，
由根与系数的关系可得，解得，
方程的另一根为，
故选：．
由根与系数的关系即可求得答案．
本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小，故符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长的二次函数，故不符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是．
故选：．
根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小判断即可；
根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可；
根据矩形的面积公式判断即可．
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．

11.【答案】 

【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

13.【答案】 

【解析】解：点，是，的中点，，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：、，是方程的两个根，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

15.【答案】 

【解析】解：，过圆心点，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点在点和之间，
当时，，即，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
时，，
，
即，故正确；
抛物线顶点坐标为，
抛物线与直线有唯一一个交点，
即方程有两个相等的实数根，
，
，故正确；
抛物线的开口向下，
，
直线与抛物线没交点，
一元二次方程没实数根，故正确；
故答案为：．
根据已知条件得到当时，，即，故正确；根据抛物线的对称轴为直线，即，得到，故正确；根据已知条件得到方程有两个相等的实数根，得到，故正确；根据抛物线的开口向下，得到，于是得到直线与抛物线没交点，即可得到一元二次方程没实数根，故正确．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定．

17.【答案】解：原式

． 

【解析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可，需注意非零有理数的零次幂等于的法则．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．

18.【答案】解：

，
当时，
原式
． 

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的混合运算与求值，掌握整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

19.【答案】解：如图所示，即为所求；的坐标为；

如图所示，即为所求；的坐标为． 

【解析】把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，再写出的坐标；
关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，据此作图并写出点的坐标．
本题主要考查了利用平移变换和旋转变换进行作图，解题时注意：运用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

20.【答案】解：由为常数，是的一次函数，得
，
解得，
当时，是的一次函数；
为常数，是二次函数，得
，
解得，不符合题意的要舍去，
当时，是的二次函数，
当时，，
解得，
故纵坐标为的点的坐标的坐标是． 

【解析】根据题意，形如是常数是一次函数，可得一次函数；
根据题意，形如是常数，且是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．

21.【答案】 

【解析】解：名，
故答案为：；
样本中“组”的人数：名，
扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数为：，
补全条形统计图如图：

人，
答：该校名学生中一周在家运动时长不足小时的人数大约有人；
需要加强学生在家体育锻炼，努力提高身体素质．
由两个统计图可知，“组”的频数为人，占调查总人数的，根据频率即可求出调查总人数；
求出样本中“组”的人数即可补全条形统计图，求出“组”人数所占调查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求出样本中一周在家运动时长不足小时的人数所占的百分比，进而估计总体总体中一周在家运动时长不足小时的人数所占的百分比，再根据频率进行即可；
根据各个组所占的百分比，提出相应的建议即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率是正确解答的前提．

22.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
设采购篮球个，则采购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
为整数，
的值可为，，，，
共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个． 

【解析】根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
是矩形的对角线的交点，
，，，
，
平行四边形是菱形；
解：由得：，四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论；
由菱形的性质得，证是等边三角形，得，则，再由勾股定理得，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形为菱形是解题的关键．

24.【答案】   

【解析】解：不是轴对称图形，故不是“函数”；
，关于对称满足定义，是“函数”．
故答案为：，；
，
当时，，则直线过定点，
根据定义，其图象关于直线对称，
如图，设直线与坐标轴分别交于点，，根据定义，，关于对称，
，
由，令，则，令，则，
，
解得或，
或时，是“函数”，
当时，，
当时，，
以为圆心，为半径作圆，则圆与，的交点的距离为，

如图，设，为与直线的交点，则，即为所求的点，
设，则，
即，
解得，，
一对点的坐标分别为与；
该函数截轴所得的线段长为，
令，设两根分别为，．
则，
，
即，
该“函数”截直线所得的线段长为，
过点，分别作坐标轴的垂线交于点，如图，

，在上，则是等腰直角三角形，
则，
联立，
得，设两根分别为，，
，
，
即，
根据定义可知一对“点“、分别位于轴、轴上，
则，
由，
令，得，
解得：或，
令，则，
则或，
即，
联立并整理得，，
解得：或或，
根据题意，，，
或．
同时满足两个条件的“函数”的解析式为或．
根据定义判断即可求解；
根据题意求得直线过定点，根据“函数“的定义确定的值，进而设，则，根据勾股定理求得两点坐标距离为，进而即可求解；
根据新定义，以及个条件，根据一元二次方程根与系数的关系，列出方程组，解方程组，待定系数法求解析式即可．
本题考查函数综合运用，主要考查了新定义，待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，理解新定义是解题关键．

25.【答案】解：，
，
把代入，得，
，
令，得，
解得：，
，
把代入，得，
解得：，
，
即该抛物线的解析式为；
在中，令，得，令，得，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
如图，设，过点作于点，

则，，
和均为等腰直角三角形，
，，
由和联立，
得：，
整理得：，
，
，
，
即，
，
，
，，
点的坐标为；
由题意得：，，
当时，，
解得：，，
，，
经过、、三点，
点在线段的垂直平分线上，即点的横坐标为，
点也在线段的垂直平分线上，，
点在第二、四象限角平分线上，即点的横纵坐标互为相反数，
，
如图，过点作轴于点，连接，

则，，
，
，
，，
，
，即，
，
直线经过点，
，
，
，与联立，
得，
整理得：，
，，
，，




，
，
，
． 

【解析】根据直线与坐标轴的交点特征可得，代入，即可求得抛物线的解析式；
先证得是等腰直角三角形，得出，，设，过点作于点，由和联立，可得，根据根与系数关系可得：，得出，即，再由，建立方程求解即可得出答案；
根据经过、、三点，可得，过点作轴于点，连接，运用勾股定理可得，再由，，可推出，由，与联立，可得：，，进而推出，即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与抛物线交点，一元二次方程根与系数关系，勾股定理，等腰直角三角形性质，圆的性质等，本题综合性较强，涉及知识点较多，难度较大，对学生运算能力要求较高．