2023-2024学年辽宁省沈阳市民办学校联合体八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳市民办学校联合体八年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.实数的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.要使二次根式有意义，的值不可以取(    )

A.  B.  C.  D.

3.的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.在实数，，，，，，每相邻两个之间依次多一个中，无理数共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.正整数，分别满足，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.下列说法中正确的是(    )

A. 的平方根是 B. 对于任意非负数，都有
C. 没有平方根 D. 正数的平方根是

8.下列结论正确的是(    )

A. 在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为
B. 的三边长满足，则
C. 若三角形的三边长之比为：：，则该三角形是直角三角形
D. 在中，若：：：：，则是直角三角形

9.已知，，，，点是上一个动点，则线段长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.对任意两个正实数，，定义新运算为：，则下列等式：；；；，其中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.实数的平方根是______ ．

12.如图，中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______ ．

13.如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行小时后，“远航”号、“海天”号分别位于，处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______ ．

14.如图，四边形的对角线，交于点若，，，则 ______ ．

15.如图，中，，，，为的角平分线，则 ______ ．

16.如图，在中，，，，延长到点使为等腰三角形，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：．

18.本小题分
已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根．

19.本小题分
已知是的小数部分，是的整数部分．
______ ， ______ ；
求的值．

20.本小题分
如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，小正方形的边长为已知点，，在格点上．

图中三角形的面积为______ ；
在正方形网格中按要求画．
在图中画一个直角，三边长都是无理数；
在图中画一个等腰，且的周长为．

21.本小题分
阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题．
如图，一个长方体盒子，长，宽，高．
探究：在盒子外表面从点到点粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？
探究：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？

小明的解法：探究：将长方体盒子的两个侧面展开成如图所示的平面图形，在中，．
对于探究，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法；
帮助小明完成探究．

22.本小题分

如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
求旗杆的高度；
小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米即的长？，结果保留位小数

23.本小题分
如图，在中，，，边上的中线，过作交延长线于点．
求证：；
求的度数；
点到的距离为______ ．

24.本小题分
观察下列等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，

按照以上规律，解决下列问题：
第个等式：______ ；
计算：；
写出你猜想的第个等式，并证明其正确性用含的式子表示；
若符合上述规律，请直接写出代数式的值．

25.本小题分
【问题提出】
如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，．
求证：；
若，求证：；
【问题探究】
如图，和是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数；
【问题拓展】
如图，中，，，点为外一点若，，，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的立方根是，
故选：．
利用立方根的定义解答即可．
本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据负数的绝对值是其相反数即可求解．
本题考查了实数的性质，关键是熟练掌握绝对值的性质．

4.【答案】 

【解析】解：，，
故在实数，，，，，，每相邻两个之间依次多一个中，无理数有，，每相邻两个之间依次多一个，共个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

5.【答案】 

【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
利用二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据平方差公式对选项进行判断；根据完全平方公式对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和乘法公式是解决问题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
则，
故选：．
结合已知条件，利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可．
本题考查无理数的估算，结合已知条件求得，的值是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，的平方根是，故A选项不符合题意，
，，，，故B选项符合题意，
，若，则由平方根，故C选项不符合题意
，正数的平方根是，故D选项不符合题意

故选：．
由平方根的概念，可选择．
本题考查平方根的有关概念，关键是掌握平方根与算数平方根的区别．

8.【答案】 

【解析】解：在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为或，故A说法错误，不符合题意；
的三边长满足，则，故B说法错误，不符合题意；
若三角形的三边长之比为：：，其三边不符合勾股定理的逆定理，则该三角形不是直角三角形，故C说法错误，不符合题意；
在中，若：：：：，则，则是直角三角形，故D说法正确，符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和公式进行分析，从而得到答案．
此题考查了勾股定理逆定理及三角形内角和定理，熟记勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．
首先判断的形状，再利用三角形面积求法得出答案．
【解答】
解：

，，，
，
是直角三角形，
当时，最小，
，
解得：．
故选A．

10.【答案】 

【解析】解：，
不成立；
，
成立；
，
成立；
，
成立．
成立的是：．
故选：．
利用新运算的规定和二次根式的性质对每个等式进行验证即可得出结论．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：实数的平方根是，
故答案为：．
根据平方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
，
点所表示的数是，
点所表示的数为．
故答案为：．
中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点所表示的数．
此题考查了勾股定理，实数与数轴，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键，难度一般．

13.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：海里，海里，，，
，
在中，海里，
此时“远航”号与“海天”号的距离为，
故答案为：．
根据题意可得：海里，海里，，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
根据勾股定理得，
，，，，
，
；
故答案为：．
在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，，最后求得．
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，，
，
是直角三角形，
，
平分，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据角平分线的性质可得，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

16.【答案】或或 

【解析】解：在中，，，，
，
当时，；
当时，；
当时，设，则有，
，
．
综上所述，满足条件的的长为或或．
分三种情形：，，分别求解．
本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用二次根式的运算法则，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：正数的两个不相等的平方根分别是和，
，
，
，
．
的立方根为，
，
．



．
的算术平方根． 

【解析】利用平方根，立方根的意义求得，的值，再利用算术平方根的意义解答即可．
本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．

19.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，，
故答案为：；；
当，时，
原式

．
估算出在哪两个连续整数之间后即可求得在哪两个连续整数之间，继而求得，的值；
将，的值代入代数式中计算即可．
本题考查无理数的估算及二次根式的运算，结合已知条件求得，的值是解题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
如图：即为所求；
如图：即为所求．

根据割补法求面积；
根据网格线的特点及勾股定理作图；
根据等腰三角形的判定定理和勾股定理作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点、勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键．

21.【答案】解：小明的做法不正确，正确的做法如下：
将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：

，，
，
在中，
，
小明的结果为，且，
装饰条的最小长度为；
如图：

，，
，
又，
在中，
，
这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 

【解析】将长方体盒子展开成平面图形，使高和宽展到一条直线上，用勾股定理可得装饰条的最小长度为，从而得到答案；
画出图形，用勾股定理可得答案．
本题考查三角形综合应用，解题的关键是掌握平面展开最短路径问题，能熟练画出图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．

22.【答案】解：设旗杆的高度为米，则为米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为米；
如图，过作于点，

则四边形是矩形，
米，，
米，
由可知，米，
在中，由勾股定理得：米，
米，
米米，
答：小明需要后退约米． 

【解析】设旗杆的高度为米，则为米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
过作于点，则四边形是矩形，得米，，再由勾股定理得米，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：，
，
是边的中线，
，
在和中，
，
≌，
；
由知≌，
，，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
；
作于点，如图，

在中，
由勾股定理，得，
，
又由，
≌，
，
，
，
即点到的距离为．
故答案为：．
有已知条件，利用证明≌即可证明出；
利用勾股定理的逆定理证明，从而可求出的度数；
作于点，利用，可求出的长，从而得到点到的距离．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．

24.【答案】 

【解析】解：由题干中所给等式可得第个等式为：，
故答案为：；
原式

；
第个等式为：，证明如下：



；
，
即，
符合所得规律，
，，
解得：或，，
那么或，
即的值为或．
结合题目所给等式即可求得答案；
结合所给等式利用二次根式的乘法法则计算即可；
结合所给等式猜想第个等式，然后进行证明即可；
将原式变形后根据所得规律求得，的值，将其代入中计算即可．
本题考查实数的运算，分式的运算及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．

25.【答案】证明：如图：

和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
；
是等边三角形，
，，
，
，
，
由知，
；
解：如图：

和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
，
，
，
；
的度数为；
解：过点作，且，连接，，如图：

，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
． 

【解析】由和都是等边三角形，可得，，，即可证≌，故BD；
由是等边三角形，可得，，又，可得，有，从而；
证明≌，可得，根据，有，故，即得的度数为；
过点作，且，连接，，证明≌，得，由，，知，即得，从而，可得，．
本题考查三角形综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及逆定理的应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．