浙江省杭州市西湖高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题及参考答案

高二数学10月月考试题

一、单选题

1. 直线的倾斜角为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.

【详解】设斜率为，倾斜角为，

∵，∴，．

故选：D．

2. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）

A. x-y+1=0 B. x+y-3＝0 C. y＝2x或x+y-3＝0 D. y＝2x或x-y+1＝0

【答案】D

【解析】

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；

当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.

综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

3. 直线关于点对称的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.

【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.

故选：D.

4. 已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ）

A.  B.

C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案．

详解】解：直线，，

若，则，解得：或

当时，与重合，故“” “”，

故“”的必要不充分条件是“或”，

故选：C．

5. 在四面体中，，点在棱上，且，为中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.

【详解】点在线段上，且，为中点，

，，

．

故选：B．

6. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可

【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.

②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.

③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.

④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.

故选：C

【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题

7. 已知两点到直线的距离相等，则（    ）

A. 2 B.  C. 2或 D. 2或

【答案】D

【解析】

【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.

【详解】（1）若在的同侧，

则，所以，，

（2）若在的异侧，

则的中点在直线上，

所以解得,

故选:D.

8. 正三棱柱中，，点在棱上，，则二面角的正切值是（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】作出图形，结合题意证明平面，得出平面，推出是二面角所成的平面角，求出的值即可得出结果.

【详解】由题意知，如图，取BC的中点E，的中点，连接AE、，则，，，且所以四边形为矩形，

在上取一点使得，过作，垂足为，则，

且；作，垂足为D，则，，所以且，连接，所以四边形为平行四边形，所以.

所以，又平面ABC，所以平面ABC，所以，

又，，所以平面，又，所以平面，因为，所以平面，故是二面角所成的平面角；

因为，所以，

在中，，

所以.

故选：B

二、多选题

9. 如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.

【详解】对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确.

对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，B错误.

对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面.所以C错误.

对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，D正确.

故选：AD

10. 已知向量，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得.

【详解】解：因为，，

所以，所以，故A错误；

因为，，所以，故B正确；

因为，所以，故C正确；

因为，，所以，所以，故D正确.

故选：BCD

11. 如图，在棱长为1的正方体中（    ）

A. 与的夹角为 B. 二面角的平面角的正切值为

C. 与平面所成角的正切值 D. 点到平面的距离为

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，

则，

∴，，即，与的夹角为，故A错误；

设平面的法向量为，，

所以，令，则，

平面的法向量可取，二面角的平面角为，

则，所以，故B正确；

因为，设与平面所成角为，

则，故C正确；

因为，设点到平面的距离为，则

，故D正确.

故选：BCD.

12. （多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.

【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

设点关于直线的对称点为，

则，解得，

所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，

则反射光线所在直线的方程为，

当时，；当时，.

故选：BD.

【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.

三、填空题

13. 一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.

【答案】

【解析】

【分析】先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．

【详解】从中随机抽取2个球，所有的抽法共有种，

事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，

而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为，

故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于，

故答案为.

【点睛】本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，属于简单题.

14. 已知，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式化简所求式子，根据正余弦齐次式的求法可直接求得结果.

【详解】.

故答案为：.

15. 已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数______．

【答案】

【解析】

【分析】求出，，，，，，再由与的夹角为，能求出的值．

【详解】，，，，，，，，，

，，，，，，

与的夹角为，

，

解得．

故答案为：

16. 如图，在正方体中，和相交于点O，若，则________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件将用表示出来即可求出的值，从而可求得答案.

【详解】因为在正方体中，和相交于点O，

所以

,

因为，

所以，

所以，

故答案为：

四、解答题

17. 已知函数.

（1）求的值；

（2）若，求的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）将代入直接计算即可，

（2）化简变形函数得，然后由，得，再利用正弦函数的性质可求出其最值.

【小问1详解】

=

.

【小问2详解】

.

因为，所以，

所以，

所以

所以的最大值为，最小值为.

18. 统计某班级名学生数学期末考试成绩（单位：分）的频率频率分布直方图如图所示：

（1）分别求出成绩落在与中的学生人数；

（2）从成绩在和的学生中按照分层抽样的方法抽取人参加全校数学文化知识竞赛，如果有人获奖，求这人的成绩都在中的概率.

【答案】（1）成绩落在中学生人数为，成绩落在中学生人数为；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为求出实数的值，并计算出成绩落在与中的学生所占的频率，乘以可得结果；

（2）列出所有的基本事件，并确定事件“所抽的人的成绩都在中”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）据直方图知组距为，由，解得，

成绩落在中学生人数为，

成绩落在中学生人数为；

（2）从成绩在和的学生中按照分层抽样的方法抽取人，成绩落在有人，成绩落在有人，

记成绩落在中的人为、，成绩落在中的人为、、、，

则从人选人的基本事件共有个：

、、、、、、、、、、、、、、.

其中人的成绩都在中的基本事件有6个.

故所求概率为.

【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：

（1）列举法；

（2）列表法；

（3）数状图法；

（4）排列组合数的应用.

19. 已知锐角内角，，的对边分别为，，．若．

（1）求；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，再结合三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到，即可得到；

（2）利用正弦定理、三角形内角和和和差公式将转化成，再结合的范围求的范围即可.

【小问1详解】

，

又为锐角，所以，，

因为为锐角，所以，.

【小问2详解】

因为，所以，

，

因为三角形为锐角三角形，所以，解得，

令，所以，，

所以.

20. 过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．

【答案】

【解析】

【分析】由题意设直线的方程为，则可得，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的值，进而可求出直线方程.

【详解】解：设直线的方程为．

把点代入可得．

，

当且仅当时取等号，的最小值为9，

此时直线的方程为．

21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

22. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.

（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）与平面所成角的正弦值为.

【解析】

【分析】（1）、取的中点，连接，证明结合，先证明平面，得到，再证明，然后证明平面；

（2）、以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角.

【详解】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，

又平面，所以平面，又平面，所以，

因为∥，所以，又平面，所以平面；

（2）以为坐标原点, 所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，

则，所以，

设平面的法向量为，则，取，则，