2022-2023学年浙江省金华市兰溪实验中学共同体九年级（下）第一次学业反馈数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市兰溪实验中学共同体九年级（下）第一次学业反馈数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列函数中，属于二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.有五张正面分别写有数字，，，，的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，抽取的牌为偶数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.两个相似三角形的对应边上的中线比为：，则它们面积比的为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

5.二次函数图象的顶点坐标是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，是的直径，点，在上，连接，，，如果，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.某商品的标价为元，若降价以九五折出售优惠仍可获利相对于进货价则该商品的进货价是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

8.如图，为的重心，点在延长线上，且，过，的直线交于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.点，在抛物线上，已知：，存在一个正数，当时，都有，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

10.如图，正方形的边长为，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.使式子有意义的取值范围是______．

12.如图，在中，，是边上的三等分点，，是边上的三等分点若，则 ______ ．

13.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为______ ．

14.如图，，，以为圆心，为半径画弧交与点，设图中两块阴部分面积分别为，，则 ______ ．

15.如图，在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为______．

 

16.如图是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图所示灯柱，灯臂绕着支点可以旋转，灯罩呈圆弧形即和在转动过程中，总是与桌面平行当时，，，测得点在墙壁上，且．
当灯臂转到位置时，测得，则点到桌面的距离为______ ．
若此时点，，在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：．

18.本小题分
先化简再求值：，请从，，中选择你喜欢的一个数作为的值代入，求出相应的分式的值．

19.本小题分
一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出个球，取出白球的概率为．
布袋里红球有多少个？
先从布袋中摸出个球后不再放回，再摸出个球，求两次摸到的球都是白球的概率．

20.本小题分
如图，某桥拱截面可视为抛物线的一部分如图，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

按图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
一只竹筏径直向桥驶来，当竹筏驶到桥拱下方时，桥下水位刚好在处，有名身高的工人站立在离点处的竹筏上清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由假设竹筏与水面齐平．

21.本小题分
在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．
如图，若点与圆心重合，，求的半径；
如图，若点与圆心不重合，，请求出的度数．
如图，如果，，求的长．

22.本小题分
【基础巩固】

如图，在四边形中，对角线平分，，求证：；
【尝试应用】
如图，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结、、，若，，，求的长；
【拓展提高】
如图，在中，是上一点，连结，点、分别在、上，连结、、，若，，，，，，求的值．

23.本小题分
阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量在取值范围内任取与时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”例如：，在实数范围内任取时，；当时，，所以是“对称函数”．
函数 ______对称函数填“是”或“不是”当时，的图象如图所示，请在图中画出时，的图象．
函数的图象如图所示，当它与直线恰有个交点时，求的值．
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，当二次函数的图象与矩形的边恰有个交点时，求的取值范围．

 

24.本小题分
如图，在中，，，，平分的外角，于点，过点作平行交于点点在线段上，点在直线上，且，连接，作点关于直线的对称点，连接，．

当在中点时， ______ ；连接，则此时与位置关系为______ ．
求线段的长：
将线段绕着平面上某个点旋转后，使的两个对应点、落在的边上，求点到对应点的距离；
如图，当的一边与的或边平行时，求所有满足条件的的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．

2.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、是二次函数，故本选项正确；
D、与是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．

3.【答案】 

【解析】解：随机抽取一张共有种等可能的情况，其中抽取的牌为偶数的情况有，两种，
．
故选：．
利用概率公式进行计算即可．
本题考查概率的计算．熟练掌握概率计算公式：，是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：相似三角形对应边上的中线的比为：，即相似比为：，
而相似三角形的面积比等于其相似比的平方比，
其面积比为：．
故选：．
三角形的面积比等于其相似比平方比，而对应中线的比即为其相似比，进而可求解结论．
本题主要考查了相似三角形的性质问题，重在考查其面积比与对应边的比之间的关系，应熟练掌握．

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
顶点坐标是，
，，即，
则，
故选：．
将抛物线解析式配方成顶点式得出其顶点坐标，结合题意得出、的值即可得出答案．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握配方法求二次函数的顶点坐标是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：连接，
，
．
是的直径，
．
．
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据同弧所对的圆周角相等求得，再根据直角三角形的两个锐角互余进行求解．
本题考查圆周角定理中的两个推论：直径所对的圆周角是直角同弧所对的圆周角相等．

7.【答案】 

【解析】解：设商品的进货价是元，
根据题意，得，
解得，
故选：．
根据利润标价进价计算即可．
本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握利润标价进价是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：延长交于点，过点作的平行线交的延长线于点，

，
∽，∽，
，
是三角形的重心，
：：，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
构造∽，∽，根据相似三角形对应边成比例，可以将，，的长度用的代数式表示，然后代入即可求解．
本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定和性质，关键是过作的平行线构造相似三角形，将，，与联系起来．

9.【答案】 

【解析】解：，
函数的对称轴为直线，
，
时，，
，存在一个正数，当时，都有，
或，
解得：或，
故选：．
先由二次函数的解析式求得函数的对称轴，然后求得当时，的取值范围，再由列出关于的不等式组，进而得到的取值范围．
本题考查了二次函数的对称性，一元一次不等式组的计算，解题的关键是熟练应用二次函数的对称性．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点作于点．

四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，
，
，
的最小值为，
故选：．
如图，连接，在上截取，使得，连接，过点作于点证明≌，推出，推出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，作出即可解决问题．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的意义，被开方数是非负数．

12.【答案】 

【解析】解：因为，是边上的三等分点，，是边上的三等分点．
所以，
所以，
所以，
因为，
所则．
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理，判定平行线后再次运用定理计算．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
．
由“左加右减，上加下减”的原则可知：将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为，即．
故答案为：．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交的延长线于，交于．

，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
如图，过点作交的延长线于，交于证明≌，推出，可得结论．
本题考查扇形的面积，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

15.【答案】或 

【解析】【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．
分两种情况：点落在边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出的值；点落在边上，证明∽，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值．
【解答】
解：分两种情况：
如图，当点落在边上时，

四边形是矩形，
，
将沿折叠，点的对应点落在边上，
，
同理可得，
，
，
，，
，
；
如图，当点落在边上时，

四边形是矩形，
，，，
将沿折叠，点的对应点落在边上，
，，，
在中，，，
在与中，
，，
∽，
，即，
解得，舍去，
综上，所求的值为或，
故答案为：或．

16.【答案】   

【解析】解：延长，，则、、在一条直线上，、、、在一条直线上，
由题意得，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
即点到桌面的距离为．
故答案为：；
过点作于点，
则，
、、在同一条直线上，，
∽，
，
即，
解得，
，
如图，可得，，
设半径为，则，，
在中，
，
即，
解得，
故答案为：，．
根据题意，通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再在圆中，利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
本题考查垂径定理、直角三角形的边角关系，相似三角形，理解题意将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键，掌握相似三角形、勾股定理、垂径定理是正确计算的前提．

17.【答案】解：


． 

【解析】先根据零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质化简，再计算，即可求解．
本题主要考查了零指数幂，绝对值的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：因为


，
因为，，，
所以，，，
所以，
所以． 

【解析】先运用公式法进行因式分解，约分，通分，进行化简，后根据分式的分母不能为零，确定要选择的值，代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握化简，明确分式有意义的条件，正确选值是解题的关键．

19.【答案】解：设布袋里红球有个．
由题意可得：，
解得，
经检验是原方程的解．
布袋里红球有个．

记两个白球分别为白，白
画树状图如下：
            
由图可得，两次摸球共有种等可能结果，
其中，两次摸到的球都是白球的情况有种，
两次摸到的球都是白球． 

【解析】设布袋里红球有个，根据白球的概率列方程求解可得；
画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】解：，
点坐标为，
设，
将代入解析式得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
把代入得，
，
头顶是不会触碰到桥拱． 

【解析】设抛物线为，将代入解析式求解；
将代入解析式得，然后与比较大小求解．
本题考查二次函数的应用，解题关键是熟练掌握各类二次函数的解析式，掌握二次函数与方程的关系．

21.【答案】解：设点关于弦的对称点为，连接，交于点，

则，，，
因为，
所以，
设，
则，
根据勾股定理，得，
解得，
故圆的半径为；
设点关于弦的对称点为，连接，，

根据题意，得，，
所以，
所以；
因为为直径，
所以，，
所以．
如图，连接，，过点作于点，

根据得到，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
所以，，
所以，，
所以． 

【解析】设点关于弦的对称点为，连接，交于点，则，，，根据勾股定理，得计算即可．
设点关于弦的对称点为，连接，，得，因为为直径，所以，，利用计算．
连接，，过点作于点，确定，，从而得到所以，计算，，．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键．

22.【答案】证明：平分，
，
，
∽，

；
解：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
∽，
，

，
；
解：如图，

过点作，交的延长线于点，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，从而得出结论；
证明∽，从而得出，进一步得出结果；
过点作，交的延长线于点，从而得出，，，进而证明∽，从而，从而得出，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．

23.【答案】是 

【解析】解：在实数范围内任取时，，
当时，，
是“对称函数”．
故答案为：是；
的图象如图所示，

当直线经过点时，
函数的图象与直线恰有个交点，
；
当直线与函数的图象的右半侧相切时，
函数的图象与直线恰有个交点，
即方程组有一个解，
方程有两个相等的实数根．
，
解得：．
综上，函数的图象与直线恰有个交点，则的值为或；
当时，函数的图象与轴相切时，
方程有两个相等的实数根，
，
，
；
当时，函数的图象与直线相切时，
方程有两个相等的实数根，
，
，
；
当时，函数的图象经过点时，
，
解得：．
综上，当或时，二次函数的图象与矩形的边恰有个交点．
利用“对称函数”的定义，仿照题干值的方法解答即可；
利用分类讨论的方法结合图象解答，当直线经过点时，利用待定系数法解答即可；当直线与函数的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解；
利用分类讨论的方法求出二次函数的图象与矩形的边恰有个交点时的临界值，结合图象即可求解．
本题主要考查了了待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，本题是新定义型题目，利用并熟练应用新定义是解题的关键．

24.【答案】  平行 

【解析】解：，，，
；
在中点，
，
，
；
连接，

，
，
，
，
平分的外角，
，
，
，
，
，即：，
，
；
故答案为：，平行；
在中点时，连接并延长交于点，

由：，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
将线段绕着平面上某个点旋转后，使的两个对应点、落在的边上，
与垂直平分，两条线段的交点即为旋转中心，如图所示：

则：，
，
，
，
，
，
，
；
当时；
如图：延长交于点，过点，分别作，，垂足为：，，则：四边形为矩形，
，
，
，
，
，关于直线对称
，
，
，
，
，
，
即：，
解得：；

当时，延长交于点，
，
，，
，角平分线，
，
，
，
，，
，
解得：；

当时，
如图：延长交于点，过点，分别作，，垂足为：，，延长，交于点，则：四边形为矩形，

，
，，
，
，
，关于直线对称，
，
；
，，
，
，
，
，
，
，
即：，
解得：；
如图，当时，

由可得，，
，
综上：当的一边与的或边平行时，或或或．
利用勾股定理求出，利用，即可得解；利用角平分线和直角三角形斜边上的中线，以及同角的余角相等，得到，即可得到与位置关系．
在中点时，连接并延长交于点，利用平行线分线段成比例，得到为的中点，根据矩形的判定和性质，以及勾股定理即可求解；
如图所示：根据题意，得到与垂直平分，两条线段的交点即为旋转中心，利用勾股定理和等积法求出，再根据勾股定理求出，即可得解；
分：，，，，四种情况进行讨论，利用矩形的性质和解直角三角形进行求解．
本题考查勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，轴对称，中心对称以及解直角三角形．综合性强，难度大，对学生的思维能力要求很高．属于中考压轴题．解题的关键是熟练掌握相关知识点和性质，根据题目添加合适的辅助线准确的画出图形．