2022-2023学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第一次自主作业数学试卷（含解析）

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2022-2023学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第一次自主作业数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各数中的无理数是(    )A.  B.  C.  D. 2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.计算正确的结果是(    )A.  B.  C.  D. 4.如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，若点的坐标为，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 5.估计的值在(    )A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间6.下列命题正确的是(    )A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 同旁内角互补
C. 凸多边形的外角和都等于 D. 平分弦的直径垂直于弦7.如图，是的直径，、是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，则等于(    )A.
B.
C.
D. 8.我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为(    )A.  B.
C.  D. 9.下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有个圆；第个图形中一共有个圆；第个图形中一共有个圆；第个图形中一共有个圆，，则第个图形中圆的个数为(    )
 A.  B.  C.  D. 10.如图，在边长为的正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，连接；若，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 11.如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数的值的和是(    )A.  B.  C.  D. 12.已知点在二次函数上，其中，，，，令，，，；为的个位数字为正整数，则下列说法：
；；；的最小值为，此时；的个位数字为．
正确的有个(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.计算：______．14.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上的数字之积为正数的概率为______ ．15.如图，以为直径的半圆经过的斜边的两个端点，交直角边于点、是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为______．
 16.对任意一个四位数，如果各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位的和等于十位与百位的和，那么称这个数为“镜面数”，将一个“镜面数”个位与千位两个数位对调后得到一个新的四位数，将它的十位与百位两个数位对调后得到另一个新四位数，记例如，对调个位与千位上的数字得到，对调十位与百位上的数字得到，这两个四位数的和为，所以若，都是“镜面数”，其中，都是正整数，规定：，当时，的最大值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
计算：
；
．18.本小题分

如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点．
尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点，连接并延长交直线于点，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空：
解：，理由如下，如图所示，
，
，
平分，
______ ，
，
______ ，
在和中，，
______ ，
，
≌，______ ，
，，
．
19.本小题分
月，我校初届学生进行了一次体育机器模拟测试测试完成后，为了解初届学生的体育训练情况，在初届的学生中随机抽取了名男生，名女生的本次体育机考的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：
名女生的测试成绩统计如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的名男生的测试成绩扇形统计图如图．
抽取的名男生成绩得分用表示，共分成五组：：；：；：；：；：其中，抽取的名男生的测试成绩中，组的成绩如下：，，，，，．
抽取男生与女生的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：性别平均数中位数众数女生男生根据以上信息可以求出： ______ ， ______ ， ______ ；
结合以上的数据分析，针对本次的体育测试成绩中，你认为此次的体有测试成绩男生与女生谁更好？请说明理由理由写出一条即可；
若初届学生中男生有人，女生有人，规定分及以上为优秀请估计该校初届参加此次体育测试的学生中成绩为优秀的学生人数．
20.本小题分
小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了分钟．第二天骑自行车去上班结果早到分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的倍．
求小李步行的速度和骑自行车的速度；
有一天小李骑自行车出发，出发千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班耽误时间忽略不计为了至少提前分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？21.本小题分
如图，一货船从港口出发，以海里小时的速度向正北方向航行，经过小时到达处，测得小岛在的东北方向，且在点的北偏东方向．参考数据：，，，，
求的距离结果保留整数；
由于货船在处突发故障，于是立即以海里小时的速度沿赶往小岛维修，同时向维修站发出信号，在处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以海里小时的速度沿前往小岛，已知在的正东方向上，在的北偏西方向，通知时间和维修船准备材料时间一共分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛．
 
 
 22.本小题分
如图，矩形的周长为，将对角线绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，设边，的面积为．
求与的函数关系式：
下表列出了部分点，先直接写出的值为______ ，并在图中利用描点法画出此函数图象； 结合图象，指出在的变化过程中，的最小值为______ ；并写出在整个变化过程中，点到直线的最小距离为______ ．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，连接、，其中，．
求抛物线的解析式；
点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，作轴交于点，求的最小值，及此时点的坐标；
如图，轴上有一点，将抛物线向轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点，得到新抛物线，点是新抛物线与原抛物线的交点，点是直线上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．

 24.本小题分
在中，，，为上一点．

如图，过作于，连接，若平分，，求的长；
如图，以为直角边，点为直角顶点，向右作等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，取线段的中点，连接求证：；
如图，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若：：，，当取得最小值时，求的面积．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是整数，是分数，这些都属于有理数；
是无理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个中间依次多个，等有这样规律的数．2.【答案】 【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】 【解析】解：

，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方求出答案即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，能熟记幂的乘方与积的乘方法则是解此题的关键，，．4.【答案】 【解析】解：与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为：，点的坐标为，
点的坐标为，即，
故选：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．5.【答案】 【解析】解：原式，
，，
，
即，
故选：．
先根据二次根式乘法进行计算，再估计无理数的大小便可．
本题主要考查了二次根式的乘法运算，算术平方根的估算，熟记运算法则与无理数估算方法是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本项不符合题意；
B.两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，本项不符合题意；
C.凸多边形的外角和都等于，正确；
D.平分弦该弦不是圆的直径的直径垂直于弦，原说法错误，本项不符合题意；
故答案为：．
根据平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识对各项进行分析即可．
本题考查了判断命题真假的问题，掌握平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：方法一：连接，
为圆的切线，
，
，
与都对，且，
，
，
，
为的外角，
，
则．
故选：．
方法二：连接，
为圆的切线，
，
，
，
，
，
．
故选：．
方法一：连接，由为圆的切线，利用切线的性质得到垂直于，由，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出的度数，即可求出的度数．
方法二：连接，由为圆的切线，利用切线的性质得到垂直于，再根据圆周角定理，即可得到的度数，再根据，即可得到的度数．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．8.【答案】 【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据题意可得等量关系：大马数小马数；大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．9.【答案】 【解析】解：第个图形中最下面有个圆，上面有个圆；
第个图形中最下面有个圆，上面有个圆；
第个图形中最下面有个圆，上面有个圆；

第个图形最下面有个圆，上面有个圆，
共有，
故选B．
第个图形中最下面有个圆，上面有一个圆；第个图形中最下面有个圆，上面有个圆；第个图形中最下面有个圆，上面有个圆，那么可得第个图形最下面有个圆，上面有个圆，相加即可．
考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到最下面圆的个数与图形的序号相同，上面圆的个数与个连续奇数的和相关是解决本题的关键．10.【答案】 【解析】解：如图，过点作，交于点，交于点，

在边长为的正方形中，点是对角线上一点，
，
又，
，
，，
，
四边形是正方形，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
正方形边长为，
，，
，
，
故选：．
过点作，交于点，交于点，利用正方形的性质可证明≌，得，从而得出的长，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：解不等式得，
解不等式得，
关于的不等式组的解集为，
；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
关于的分式方程有非负整数解，
且，
且，
综上所述，且，
符合题意的的值可以为，，，，，，，
故选：．
先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到且，进而确定符合题意的的值即可得到答案．
本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，正确解分式方程和解不等式组确定的取值范围，进而确定的值是解题的关键．12.【答案】 【解析】解：，则当时，，
，即：，
当时，，故错误；，故正确；
，
，故正确；
，
当时，，当时，，
即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又为整数，
取得最小值，此时或，故错误；
为的个位数字，且，
由此可知，，，，，，，，，，分别为：
，，，，，，，，，，
即的规律为以，，，，，五次一循环，且这五个数相加为，
则的个位，且也是五次一循环，
，
，，
的个位为，故错误；
故选：．
根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断，将变形为，可计算出解果进而判断，由得，根据二次函数的性质及为正整数可判断其最值，进而判断，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，找其规律可判断．
本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．14.【答案】 【解析】解：可能出现的结果如表所示，第一次抽到的数第二次抽到的数总共有种结果，两数为正的结果有四种，分别是，，
，
故答案为：．
根据随件事件的概率，先把可能出现的结果表示出来，再用数字之积为正的结果数除以总的结果数，由此即可求出答案．
本题主要考查的是列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是要找出所需要结果的数量与所有可能出现的结果数之间的比值．15.【答案】 【解析】解：连接，，，，
，是半圆弧的三等分点，
，
，
，
的长为，
，
解得：，
，
，
，
，
和同底等高，
和面积相等，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出，的长，利用图中阴影部分的面积求出即可．
此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出和面积相等是解题关键．16.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
，
，，
，
，
由可知当取最大值，取最小值时，有最大值，
当，时，取最大值，
此时，
，
，
即，
则，
，都是正整数，，，
只有当，时，上式成立，
综上可知，的最大值为．
故答案为：．
根据定义得到，，由可知当取最大值，取最小值时，有最大值，当，时，取最大值，此时，又由，得到，即可得到答案．
此题考查了二元一次方程和列代数式的应用，读懂题意和准确计算是解题的关键．17.【答案】解：原式
；
原式



． 【解析】根据单项式乘以多项式法则，平方差公式计算即可；
根据分式混合运算顺序、运算法则计算即可．
本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．18.【答案】       【解析】解：如图：

，理由如下，如图所示，
，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，，
，，
．
故答案为：，，，．
以为圆心，为半径，画弧交于一点，连接，交于点，连接，并延长交于点，
按照题中给出的思路证明即可．
本题考查了基本作图，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键．19.【答案】     【解析】解：由题意可得：，
，
由已知可得男生各组人数分别如下：
A、、三组总人数为：，：，：，
男生成绩按照从低到高排序，排在第和第位的都为，
，
把女生成绩从低到高排序为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
根据众数的意义可得，
故答案为：，，；
在本次测试中，男生成绩和女生成绩的平均数相同，女生成绩的中位数与众数都比男生成绩的中位数与众数较高，
此次的体育测试成绩女生更好；
由题意可得：人，
该校初届参加此次体育测试的学生中成绩为优秀的学生为人．
根据扇形统计图中各部分百分比之和为可以得到的值，求出男生每组人数，然后根据组分数及中位数的意义可得的值，把女生成绩从低到高排序，然后根据众数的意义可得的值；
比较男生成绩、女生成绩的平均数、中位数和众数可以得解；
分别用全校男生人数和女生人数乘以各自抽测人数中的优秀占比并相加即可得解．
本题考查数据处理的应用，熟练掌握平均数、中位数和众数的意义和求法、扇形统计图中各部分百分比的意义和性质、扇形统计图中部分与总体的关系、根据样本数量估计总体数量的方法是解题关键．20.【答案】解：设小李步行的速度为千米小时，则骑自行车的速度为千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：小李步行的速度为千米小时，则骑自行车的速度为千米小时；
小李骑自行车出发千米所用的时间为小时，
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：小时，
设小李跑步的速度为千米小时，
由题意得：，
解得：，
答：小李立即跑步去上班耽误时间忽略不计为了至少提前分钟到达．则跑步的速度至少为千米每小时． 【解析】设小李步行的速度为千米小时，则骑自行车的速度为千米小时，由题意：小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了分钟．第二天骑自行车去上班结果早到分钟，列出分式方程，解方程即可；
设小李跑步的速度为千米小时，由题意：出发千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班耽误时间忽略不计为了至少提前分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出数量关系，列出一元一次不等式．21.【答案】解：过作交延长线于，

由题意得，海里，
由题意得，在中，，
，
设 海里，则海里，
在中，，
，解得，
海里，
在中，，
海里；
海里，
海里，
，
，
，
海里，
，，
，
，
海里，
货船从到用时：小时，
分钟小时，
小时，
海里，
海里，
能在货船之前到达小岛． 【解析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
过作交延长线于，由题意可得，设，则，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可；
结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答．22.【答案】     【解析】解：矩形的周长为，
，
设边，则，
，
对角线绕点顺时针方向旋转得到线段，
，，
的面积为，
即与的函数关系式为；
当时，，
即，
图象如下：

故答案为：；
解：由图象可知，在的变化过程中，当时，取得最小值为，
如图，作交的延长线于点，则，

，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
即点到直线的最小距离为．
故答案为：，．
设边，由矩形的周长为求出，由勾股定理得到，由旋转性质得到，，即可得到与的函数关系式：
由函数解析式即可得到的值，用描点法画出函数图象即可；
图象得到最低点的纵坐标即是的最小值；作交的延长线于点，先证明≌，则，由题意得到，则，即可得到点到直线的最小距离．
此题考查了二次函数图象和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23.【答案】解：将，代入，
，
解得，
；

令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
轴，轴，
，，
∽，
：：：：：：，
，
，
当时，有最小值，
此时；

，
设平移后的抛物线解析式为，
平移后抛物线经过，
，
解得或舍，
平移后的抛物线解析式为，
联立方程组，
解得，
，
设，
，，，
当时，，
解得：或；
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
当时，，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
综上所述：点坐标为或或或 【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
设，则，由题意可得∽，则，可得，当时，有最小值，此时；
先求平移后的抛物线解析式为，联立方程组，可得，设，当时与两种情况解答即可得解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理，三角形相似的判定及性质是解题的关键．24.【答案】解：如图，过作于，

平分，，，，
，
中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
解：延长至点，使得，连接，

是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
又，是线段的中点，
是的中位线，
，
．
解：如图，连接，过点作于点，交于点，则垂直平分，

，即，
，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
是等边三角形，
，即，
点在以为直径的圆上，
取的中点，连接，交圆于点，则此时最小，过点作于点，则，

，
，，
，
，
的面积为． 【解析】过作于，根据角平分线的性质得出，证明是等腰直角三角形，求出，，的长度，也是等腰直角三角形，求出的长，再求出的长，用勾股定理求出即可；
延长至点，使得，连接，证明≌，，是线段的中点，利用三角形的中位线的性质得出，即可证明．
连接，过点作于点，交于点，则垂直平分，再证明是等腰直角三角形，再证得∽，可得，从而得到，，可得到是等边三角形，，点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交圆于点，则此时最小，过点作于点，则，再由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得，，然后根据三角形的面积公式求出面积即可．
本题考查三角形的全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，图形翻折变换的性质，圆周角定理等，正确画出辅助线及熟练掌握几何相关知识点是解答本题的关键．