山东省德州市第一中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

高三年级10月份阶段性测试

数学试题

考试时间：120分钟

2023.10

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则的真子集个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式可求得集合，由集合的元素个数可求得结果.

【详解】由得：，又，，共个元素，

的真子集个数为个.

故选：C.

2. 已知向量，，则（    ）

A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.

【详解】因为向量，，

所以，

又，所以，所以，

所以.

故选：B.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.

【详解】

，

故选：C

4. 如果不等式的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元一次不等式的解法，结合题意进行求解即可.

【详解】，

因为不等式的正整数解是1，2，3，

所以，

故选：C

5. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（    ）（参考数据）

A. 64个月 B. 40个月 C. 52个月 D. 48个月

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件求得以及，根据题目要求列方程，化简求得正确答案.

【详解】依题意，，

两式相除得，则，

由两边取以为底的对数得，

由，得，

两边取以为底的对数得个月.

故选：B

6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ）

A. 30 B.  C.  D. 41

【答案】B

【解析】

【分析】由题意数列是以首先为，公差为的等差数列，由此可以求出数列的通项公式以及前n项和为，进而结合基本不等式即可求解.

【详解】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：，

该数列即为，

被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：，

该数列即为，

数列的第一个公共项为，

由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，

其首项即为数列的第一个公共项，其公差为数列的公差的最小公倍数，

所以数列的通项公式为，

由等差数列前项公式得，

所以，

由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：B.

7. 方程（x，，）解的组数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数组

【答案】C

【解析】

【分析】将方程整理为，构造函数，利用导数研究函数的单调性得到的图象，然后结合且求解即可.

【详解】由题意得，即，即，

令，则，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，上单调递减，图象如下所示：

因为，，所以当时成立，

又，，

所以或，即或，

所以方程的解的组数为2组.

故选：C.

8. 已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（    ）

A. -1 B. -2 C. -3 D. -4

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到

,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】因为,

由于圆的半径为，是圆的一条直径，

所以，，

又，所以

,

所以当时，，

所以的最小值为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算公式，准确化简是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列结论正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. “”是“”的必要不充分条件

C. “，有”的否定是“，使”

D. “是方程的实数根”的充要条件是“”

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据充分条件与必要条件，逐一检验，可得答案.

【详解】对于A，由不等式，则或，所以，但，

所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

对于B，由，则且；

当，时，则，显然，，

所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；

对于C，“，有”的否定是“，使”，故C错误；

对于D，根据方程实数根的定义，故D正确.

故选：ABD

10. 设是R上的奇函数，且，当时，，则（    ）

A.  B. 的图象关于点对称

C. 的周期为4 D. 在上有7个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.

【详解】对于A，，所以，故A错误；

对于C，因为，则，

所以的一个周期为4，故C正确；

对于B，因为是上的奇函数，则，

即图象关于对称，因为关于点对称，所以的图象关于点对称，

又的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确；

对于D，由是上的奇函数，关于对称，周期为4，

又当时，，令，得，

从而作出在上的大致图象，

注意到，，

所以在上有8个零点，故D错误.

故选：BC.

11. 已知函数的图像过点和，的最小正周期为T，则（    ）

A. T可能取

B. 在上至少有3个零点

C. 若函数的图像在上的最高点和最低点共有4个，则

D. 直线可能是曲线的一条对称轴

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．

【详解】由图可知，，即，而，所以，

又，所以，即，，

所以．

对A，若，则，，显然，无整数解，A错误；

对B，由可得，，因为，所以，

故有解，即在上至少有3个零点，B正确；

对C，因为，所以，

若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，

则，解得：，而，，

所以，当时，符合，C正确．

对D，若直线可能是曲线的一个对称轴，则，

即，，又，，所以，，符合，D正确；

故选：BCD．

12. 已知集合，，集合，将集合C中所有元素从小到大依次排列为一个数列，为数列的前n项和，则（    ）

A.

B. 或2

C.

D. 若存在使，则n的最小值为26

【答案】ABC

【解析】

【分析】由集合A和集合B中元素的特征，判断集合C中元素特征和顺序，验证各选项中结论.

【详解】对于选项A，由题意的前8项为1，2，3，4，5，7，8，9，，故A正确；

对于选项B，集合A为奇数集，集合B中的元素都是偶数，按照从小到大排列，

若连续的两个数是奇数，则，

若连续的两个数是一个奇数，一个偶数，则，故B正确；

对于选项C，令，∵比小1，

∴的前k项中，来自集合A的有个，来自集合B的有n个，

∴，

即，故C正确；

对于选项D，的前26项包括A集合的1，3，5，…，41共21个，B集合的2，4，8，16，32共5个，

∴，

∵，，，不符合条件，故D错误．

故选:ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由指对互化可表示出，根据对数换底公式可得，加和即可求得结果.

【详解】由得：，，，，

.

故答案为：

14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据基本不等式求解即可.

【详解】因为正实数a，b满足，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

15. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.

【详解】由，得，

令，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，取最大值，最大值为0；

又，，如下图，

令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，

由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，

因此，解得.

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

16. 在中，点是上的点，平分，面积是面积的3倍，且，则实数的取值范围为______；若的面积为1，当最短时，______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据题意，求得，结合，求得，进而求得，得到，再由的面积为，求得可得，根据由余弦定理得，令，化简得到，结合基本不等式，得到时，取得最小值，进而求得，即可求得的值.

【详解】设的三个角对的边分别为，

因为且 平分 ，

可得，可得，

由三角形的内角平分线定理，可得，

又由，

则，

因为，可得，所以，

则，所以，

由的面积为，可得，可得，

又由余弦定理得 ，

令，可得，

所以，

当且仅当时，即时，等号成立，此时，

则，

所以，可得，

即当最短时，.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量，.

（1）求向量与的夹角的余弦值；

（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；

（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.

【小问1详解】

，，，则；

【小问2详解】

，，与同向的单位向量.

∴在上的投影向量，.

18. 已知集合，．

（1）是否存在正实数a使集合A，B相等？若能，求出a的值，若不能，试说明理由；

（2）若命题p：，命题q：且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）存在；   

（2）或

【解析】

【分析】（1）化简集合A，根据集合相等列方程即可求解，

（2）根据充分不必要条件转化为真子集的关系，即可对分类讨论求解.

【小问1详解】

∵，∴，

若使，则，

解得，故存在使集合A，B相等．

【小问2详解】

依题意，有，，故是的真子集，

由得，

当时，，不满足题意；

当时，，则或，解得，

当时，，则，解得，

所以实数a的取值范围是或．

19. 数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可；

（2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可.

【小问1详解】

∵，，则，

∴，两式相除得：，

当时，，

∴，即，

当时，，

∴，即，

综上所述，的通项公式为：；

【小问2详解】

由题设及（1）可知：，

20. 已知函数，．

（1）若为奇函数，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，当时，函数存在零点，求实数m的取值范围；

（3）定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界．若函数在上是以为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的定义即可化简求解，

（2）利用换元法以及二次函数的性质即可求解最值，

（3）利用对勾函数的单调性，分别利用函数单调性求解，的最值即可求解.

【小问1详解】

因为为奇函数，所以对定义域内的x，有恒成立，

即，即，解得，

经检验，不合题意，故；

【小问2详解】

由（1）得，

令，则，由，所以，

当时，，当时，，

所以值域为，

又因为函数存在零点，等价于方程有解，

所以实数m取值范围是；

【小问3详解】

由已知，在上恒成立，即在上恒成立，

令，由，所以，得，

即在上恒成立，记，，

易得在上单调递增，所以，

由于，当且仅当时取等号，故，

因此实数a的取值范围是．

21. 如图，四边形ABCD中，已知，.

（1）若ABC的面积为，求ABC的周长；

（2）若，，，求∠BDC的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，结合余弦定理可得，由ABC的面积为可得，后由余弦定理可得AC即可得周长；

（2）由（1）结合，，可设，则，后由正弦定理可得，即可得答案.

【小问1详解】

由余弦定理，在中，.

又，，则.

又ABC的面积为，则.

则，则ABC的周长为

.

【小问2详解】

由（1）可知，又，，四边形内角和为，则.设，则.

在中，由正弦定理，.

在中，由正弦定理，.

消去，得

.

因，则，则.则.

22. 已知函数，且．

（1）求实数a的取值范围；

（2）已知，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数求函数最小值，通过最小值，即可得出答案；

（2）利用小问（1）构造函数，利用累加法，即可得出答案.

【小问1详解】

，

由解得，故在区间上单调递增，

由解得，故在区间上单调递减，

故的最小值是，解得，所以实数a的取值范围为．

【小问2详解】

由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，

令，则，

所以，，，

令，则，

所以，函数在上单调递增，故时，，即．

所以，，

所以

．

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是借助得出，结合累加求和可证结论.