2024年高考数学第一轮复习40_专题十三应用与创新（专题试卷+讲解PPT）

专题十三　应用与创新

应用创新篇

应用创新一　数学与实际生活

考向一　集合与实际生活

1.(2020新高考Ⅰ,5,5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是              (　　)

A.62%　　　　B.56%　　　　C.46%　　　　D.42%

答案　C　

2.(2022河南师大附中月考,13)2021年某高中举办学生运动会,某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,参加径赛的有20人,则田赛和径赛都参加的人数为　　　　. 

答案　6

3.(2022安徽滁州检测,15)某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座,还有6人听了全部讲座,则听讲座的人数为　　　　. 

答案　172

考向二　函数与实际生活

1.(2022河南洛阳期中,7)据中国地震台网测定,2021年9月16日4时33分,四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震.已知地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.据此测算,2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的里氏7.0级地震所释放出的能量,约是该次泸县地震所释放出来的能量的(精确到1;≈3.16)              (　　)

A.19倍　　　　B.23倍　　　　C.32倍　　　　D.41倍

答案　C　

2.(2021广西钦州四中月考,14)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),则大约使用　　　　年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元. 

答案　4

3.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论:

①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;

②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;

③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;

④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是　　　　. 

答案　①②③

4.(2022江西上饶期中,21)某地政府为增加农民收入,根据当地地域特点,积极发展农产品加工业.经过市场调查,加工某农产品需投入固定成本2万元,每加工x万千克该农产品,需另投入成本f(x)万元,且f(x)=已知加工后的该农产品每千克售价为6元,且加工后的该农产品能全部销售完.

(1)求加工后该农产品的利润y(万元)与加工量x(万千克)的函数关系式;

(2)求加工后的该农产品利润的最大值.

解析　(1)当0<x<6时,y=6x-x2+5x-2.

当x≥6时,y=6x-+25.

故y=

(2)当0<x<6时,y=-(x-5)2+,当x=5时,y取得最大值;

当x≥6时,因为x+=14,当且仅当x=7时,等号成立,所以当x=7时,y取得最大值11.

因为≤11,所以当x=7时,y取得最大值11.

故加工后的该农产品利润的最大值为11万元.

考向三　三角函数与实际生活

1.(2021哈尔滨三中一模,9)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形,如图所示,圆O的半径为4米,P0在水平面上,盛水筒M从点P0处开始运动,OP0与水平面所成的角为30°,且2分钟恰好转动1圈,则盛水筒M距离水面的高度H(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式是              (　　)

A.H=4sin+2　　　　

B.H=4sin+2

C.H=4sin+2　　　　

D.H=4sin+2

答案　D　

2. (2021辽宁省实验中学二模,6)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.攒尖建筑的屋面在顶部交会为一点,形成尖顶,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.辽宁省实验中学校园内的明心亭为一个八角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥,设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ,则它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为              (　　)

A.

C.

答案　A　

3.(2021广东中山5月模拟,14)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=htan θ.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记为θ1,θ2),则tan(θ1-θ2)=　　　　. 

答案　-

4.(2022河南六市联考,20)某市为响应习近平总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一块扇形荒地改造成市民休闲中心,如图,扇形OAB的半径为200 m,圆心角∠AOB=.

(1)如图1,将扇形的内切圆E及内部区域作为市民健身活动场所,其余区域种植各种花草,改造为景观绿地,求内切圆的半径r;

(2)如图2,扇形内有一矩形MNOP(边OP在半径OA上,点M在上)区域为市民健身活动场所,其余区域种植各种花草,改造为景观绿地,设∠MOA=θ,求市民健身活动场所(矩形MNOP区域)面积的最大值.

解析　(1)连接OE并延长交于点C,设OA与圆E相切于点D,连接ED.如图,由题设知EC=ED=r m,OE=(200-r)m,∠EOD=,所以在Rt△ODE中,ED=OEsin,即r=(200-r),解得r=400-600.

(2)  在Rt△OPM中,OP=OMcos θ=200cos θ,MP=OMsin θ=200sin θ,所以

S矩形MNOP=OP·MP=40 000sin θ·cos θ=20 000sin 2θ,故当2θ=,即θ=时,市民健身活动场所(矩形MNOP区域)的面积最大,最大值为20 000 m2.

考向四　数列与实际生活

1.(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=              (　　)

图1

图2

A.0.75　　　　B.0.8　　　　C.0.85　　　　D.0.9

答案　D　

2.(2022安徽六安质检,12)2013年9月7日,习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题,在谈到环境保护问题时他指出:“我们既要绿水青山,也要金山银山.宁要绿水青山,不要金山银山,而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断,成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境,2014年投入资金160万元,以后每年投入资金比上一年增加20万元,从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%,到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为              (　　)

A.2 655万元　　　　B.2 970万元

C.3 006万元　　　　D.3 040万元

答案　C　

3.(2022南京中华中学期中,6)设某厂2020年的产值为1,从2021年起,该厂计划每年的产值比上年增长P%,则从2021年起到2030年年底,该厂这十年的总产值为              (　　)

A.(1+P%)9　　　　

B.(1+P%)10

C.　　　　

D.

答案　C　

考向五　立体几何与实际生活

1.(2021北京,8,4分)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:

在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是              (　　)

A.小雨　　　　B.中雨　　　　C.大雨　　　　D.暴雨

答案　B　

2.(2020江苏,9,5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.

已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是　　　　　　cm3. 

答案　

3.(2019课标Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,

该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　g. 

答案　118.8

4.(2022全国甲,19,12分)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD, △HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

(1)证明:EF∥平面ABCD;

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

解析　 取AB、BC、CD、DA的中点M、N、P、Q,连接EM、FN、GP、HQ、MN、NP、PQ、QM.

(1)证明:在正三角形ABE中,M为AB的中点,所以EM⊥AB.又平面ABE∩平面ABCD=AB,且平面ABE⊥平面ABCD,EM⊂平面ABE,所以EM⊥平面ABCD.

同理FN⊥平面ABCD,所以EM∥FN,

又EM=FN,所以四边形EMNF为平行四边形,所以EF∥MN.又MN⊂平面ABCD,且EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.

(2)如图,可将包装盒分割为长方体MNPQ-EFGH和四个全等的四棱锥.

易得MN=4 cm,EM=4 cm.

所以V长方体MNPQ-EFGH=(4)2×4 cm3,

V四棱锥B-MNFE= cm3,

所以该包装盒的容积为128 cm3.

易错警示:线面平行的判定中,不能忽略线不在平面内这一条件.

5.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?

解析　(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.

因为A1B1=AB=6,

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

V锥=×62×2=24(m3);

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积

V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).

(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),

则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.

因为在Rt△PO1B1中,O1,

所以+h2=36,即a2=2(36-h2).

于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2h

=(36h-h3),0<h<6,

从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).

令V'=0,得h=2或h=-2(舍).

当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;

当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.

故h=2时,V取得极大值,也是最大值.

因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.

考向六　解析几何与实际生活

1.(2022武汉模拟,5)2021年12月22日,教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管理”,体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面,各地中小学积极响应教育部政策,改善学生和教师锻炼设施设备.某中学建立“网红”气膜体育馆(图1),气膜体育馆具有现代、美观、大气、舒适、环保的特点,深受学生和教师的喜爱.气膜体育馆从某个角度看,可以近似抽象为半椭球面形状,该体育馆设计图纸比例(长度比)为1∶20(单位:m),图纸中半椭球面的方程为+z2=1(z≥0)(如图2),则该气膜体育馆占地面积为              (　　)

A.1 000π m2　　　　B.540π m2

C.2 000π m2　　　　D.1 600π m2

答案　D　

2.(2022福州一中质检,8)许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD的长,则最细部分处的直径为              (　　)

A.10米　　　　B.20米　　　　

C.10米　　　　D.10米

答案　B　

3.(2022河南鹤壁月考,15)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,

再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且P,Q间的最小距离为3,则抛物线的方程为　　　　. 

答案　y2=3x

4.(2023届河南名校联盟联考,20)疫情期间,作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息,王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域,如图,l1,l2分别是经过王阿姨家(点)的东西和南北走向的街道,且李叔叔家在王阿姨家的北偏东45°方向,以点O为坐标原点,l1,l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系,已知健康检查点[即点M(100,400)]和平安检查点[即点N(400,700)]是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.

(1)求出k,并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程;

(2)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,需在姑山路(直线l:x-y+1 000=0)上碰头见面,你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)?并给出理由.

解析　(1)易知,王阿姨负责区域边界的曲线方程为x2+y2=2002.

因为李叔叔家在王阿姨家的北偏东45°方向,所以设李叔叔家所在的位置为C(c,c),离M(100,400)和N(400,700)距离相等,

故(c-100)2+(c-400)2=(c-400)2+(c-700)2,

故(c-100)2 =(c-700)2,

即c-100=700-c,故c=400,

k==300.

故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(x-400)2+(y-400)2=3002.

(2)设圆心O关于直线l:x-y+1 000=0的对称点为P(a,b),则有+1 000=0,=-1,

解得a=-1 000,b=1 000,则P(-1 000,1 000),

则kPC=,

故直线PC的方程为y=-,

联立

解得可得交点坐标为(-300,700),

所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,可选择在地点(-300,700)碰面,此时两人所走路程之和最短.

应用创新二　数学中的新定义问题

考向一　集合中的新定义问题

1.(2022湖南岳阳一中一模,1)定义集合A,B的一种运算:A?B={x|x=a2-b,a∈A,b∈B}.若A={-1,0},B={1,2},则A?B中的元素个数为              (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

答案　C　

2.(2021河南新乡二模,3)定义集合M?N={x|x∈M且x-1∈N},已知集合A={x|x2+3x-10<0},B={x|-7<x<0},则A?B=              (　　)

A.{x|-5<x<-1}　　　　B.{x|-7<x<2}

C.{x|-5<x<1}　　　　D.{x|-5<x<0}

答案　C　

3.(2022陕西榆林二模,3)定义集合A-B={x|x∈A且x∉B}.已知集合U={x∈Z|-2<x<6},A={0,2,4,5},B={-1,0,3},则∁U(A-B)中元素的个数为              (　　)

A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6

答案　B　

4.(2022贵州顶级名校摸底,2)定义集合的商集运算为,已知集合A={2,4,6},B=,则集合∪B中的元素的个数为              (　　)

A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9

答案　B　

考向二　函数中的新定义问题

1.(2021广东潮州二模,8)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0,满足f(-x0)=-f(x0),称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=x2-2mx+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是              (　　)

A.[-]　　　　B.[-]

C.[-]　　　　D.[-]

答案　B　

2.(2022山西忻州月考,11)已知函数f(x)及其导数f '(x),若存在x0使得f(x0)=f '(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=;③f(x)=ln x;④f(x)=,其中有“巧值点”的函数是              (　　)

A.①②　　　　B.①③

C.①③④　　　　D.②④

答案　C　

3.(多选)(2021江苏南通阶段检测,10)对于定义域为R的函数f(x),若存在非零实数x0,使得函数f(x)的图象在(-∞,x0)和(x0,+∞)上与x轴都有交点,则称x0为函数f(x)的一个“界点”,则下列函数中,存在界点的是              (　　)

A. f(x)=x2-2x-3　　　　B. f(x)=|x-2|+1

C. f(x)=2x-x2　　　　D. f(x)=2x2+x|2-x|

答案　ACD　

考向三　数列中的新定义问题

1.(2023届黑龙江大庆重点中学开学考试,7)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.下列定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数中,是“保等比数列函数”的是              (　　)

A.f(x)=x2　　　　B.f(x)=2x

C.f(x)=3x+x　　　　D.f(x)=ln|x|

答案　A　

2.(2023届山西晋城重点中学联考,9)若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3成等差数列,且满足,则称x1,x2,x3构成一个“β等差数列”.已知集合M={x||x|≤100,x∈Z},则由M中的三个元素组成的所有数列中,“β等差数列”的个数为              (　　)

A.25　　　　B.50　　　　C.51　　　　D.100

答案　B　

3.(2021江西宜春中学、万载中学、樟树中学联考一,9)定义为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知正整数数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn=,则=              (　　)

A.

答案　A　

4.(2022重庆育才中学入学考试,5)定义:在数列{an}中,若满足=d(n∈N*,d为常数),称{an}为“等差比数列”,已知在“等差比数列”{an}中,a1=a2=1,a3=3,则等于              (　　)

A.4×2 0172-1　　　　B.4×2 0182-1

C.4×2 0192-1　　　　D.4×2 0202-1

答案　C　

5.(2020浙江,11,4分)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列就是二阶等差数列.数列(n∈N*)的前3项和是　　　. 

答案　10

应用创新三　数学文化

考向一　三角函数与数学文化

1. (2021安徽宣城第二次调研,6)刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”的方法:当n很大时,圆内接正n边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高的圆周率π≈3.141 6.在《九章算术注》中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”的极限思想.运用此思想,当π取3.141 6时,可得sin 2°的近似值为              (　　)

A.0.008 73　　　　B.0.017 45　　　　

C.0.026 18　　　　D.0.034 91

答案　D　

2. (2021福建厦门外国语学校月考,4)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC中,.根据这些信息,可得cos 324°=              (　　)

A.

答案　B　

3.(2022哈尔滨三中二模,5)黑洞原指非常奇怪的天体,它的密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”,任意取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串;重复以上操作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”,如果把这个数设为a,则sinπ+=              (　　)

A.

答案　D　

4.(2023届安徽安庆调研考试,7)我国唐代著名的数学家僧一行在著作《大衍历》中给出了近似计算的“不等间距二次插值算法”,用数学语言可表述为若y0=f(x0),y1=f(x1),y2=f(x2)(x0<x1<x2),则在闭区间[x0,x2]上函数y=f(x)可近似表示为f(x)≈y0+y0,1(x-x0)+y0,1,2(x-x0)(x-x1),其中y0,1=,y1,2=,y0,1,2=.已知函数f(x)=cos x,x∈,分别取x0=-,x1=0,x2=,则用该算法得到cos ≈              (　　)

A.

答案　D　

考向二　数列与数学文化

1.(2022云南质检,4)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:“今有5人分5钱,各人所得钱数依次成等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为(　　)

A.钱　　　　B.-钱　　　　C.钱　　　　D.钱

答案　D　

2.(2022湖南湘潭月考,4)我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533年—1606年)所著.程大位少年时,读书极为广博,对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下游一带经商,因商业计算的需要,他随时留心数学,遍访名师,搜集了很多数学书籍,刻苦钻研,时有心得,终于在他60岁时,完成了《算法统宗》这本著作.该书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”根据诗词的意思,可得塔的最底层共有灯              (　　)

A.192盏　　　　B.128盏　　　　C.3盏　　　　D.1盏

答案　A　

3.(多选)(2022山东联考)我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:“今有良马和驽马发长安至齐,良马初日行一百九十三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国,良马第一天走193里,以后每天比前一天多走13里;驽马第一天走97里,以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国,再返回迎向驽马,9天后两马相遇.下列结论正确的是              (　　)

A.长安与齐国两地相距1 530里

B.3天后,两马之间的距离为328.5里

C.良马从第6天开始返回迎向驽马

D.8天后,两马之间的距离为377.5里

答案　AB　

考向三　立体几何与数学文化

1.(2022山东潍坊抽测,8)牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法,该方法不直接给出球体的体积,而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算,得到“牟合方盖”的体积与球的体积关系为,并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式,即=r3-V方盖差,从而计算出V球=πr3.如果记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V,则V方盖差∶V=              (　　)

A.

答案　C　

3. (2020新高考Ⅰ,4,5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为              (　　)

A.20°　　　　B.40°　　　　C.50°　　　　D.90°

答案　B　

4. (2020课标Ⅰ,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为              (　　)

A.

答案　C　

4.(2019课标Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 

图1

图2

答案　26　-1

应用创新四　跨学科交汇

1.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是              (　　)

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033　　　　B.1053　　　　C.1073　　　　D.1093

答案　D　

2.(2019课标Ⅱ理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:

=(R+r).

设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中≈3α3,则r的近似值为 (　　)

A.R　　　　

C.R

答案　D　

3.(2022福建宁德期中,6)为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前2世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森又提出了衡量天体亮度的单位.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lg E2-lg E1),其中星等为mi的星星的亮度为Ei(i=1,2).已知星星A的星等是1.00,星星B的星等是1.25,星星A的亮度是星星B的r倍,则与r最接近的是(当|x|较小时,10x≈1+2.3x+2.7x2)              (　　)

A.1.24　　　　B.1.25　　　　C.1.26　　　　D.1.27

答案　C　

4.(2022石家庄模拟,14)甲烷CH4的分子结构是一个正四面体,四个氢原子在正四面体的顶点上,碳原子在正四面体的中心,任意两个碳氢键的张角称为碳氢键的键角,则键角的余弦值为　　　. 

答案　-